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22.4 INTEGRALES IMPROPIAS 663
donde n = el número de puntos menos uno y f (2n+2) (ξ) = la (2n + 2)-ésima derivada de la
función, después del cambio de variable con ξ localizada en algún lugar en el intervalo
desde –1 hasta 1. Una comparación de la ecuación (22.26) con la tabla 21.2 indica la
superioridad de la cuadratura de Gauss respecto a las fórmulas de Newton-Cotes, siem-
pre que las derivadas de orden superior no aumenten sustancialmente cuando se incre-
mente n. El problema 22.8 al final de este capítulo ilustra un caso donde las fórmulas de
Gauss-Legendre tienen un desempeño pobre. En tales situaciones, se prefieren la regla
de Simpson de aplicación múltiple o la integración de Romberg. No obstante, en muchas
de las funciones encontradas en la práctica de la ingeniería, la cuadratura de Gauss
proporciona un medio eficiente para la evaluación de las integrales.
22.4 INTEGRALES IMPROPIAS
Hasta aquí, hemos analizado exclusivamente integrales que tienen límites finitos e inte-
grandos acotados. Aunque esos tipos son de uso común en ingeniería, habrá ocasiones
en que se deban evaluar integrales impropias. En esta sección nos ocuparemos de un
tipo de integral impropia. Es decir, una con límite inferior –∞ y/o límite superior +∞.
Tales integrales a menudo se resuelven con un cambio de variable, que transforma
el límite infinito en uno finito. La siguiente identidad sirve para este propósito y trabaja
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con cualquier función decreciente hacia cero, por lo menos tan rápido como 1/x , con-
forme x se aproxima a infinito:
∫ b fx dx() = ∫ a / 1 1 f ⎛ ⎞ 1 dt (22.27)
a b / 1 t 2 t ⎝ ⎠
para ab > 0. Por lo tanto, se utiliza sólo cuando a es positiva y b es ∞, o cuando a es –∞
y b es negativa. En los casos donde los límites son desde –∞ a un valor positivo o desde
un valor negativo a ∞, la integral puede calcularse en dos partes. Por ejemplo,
–
b
∫ −∞ fx dx() = ∫ –∞ A fx dx() + ∫ – b A fx dx() (22.28)
donde –A se elige como un valor negativo lo suficientemente grande para que la función
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comience a aproximarse a cero, en forma asintótica por lo menos tan rápido como 1/x .
Después que la integral se divide en dos partes, la primera podrá evaluarse con la ecua-
ción (22.27) y la segunda con una fórmula cerrada de Newton-Cotes como la regla de
Simpson 1/3.
Un problema al usar la ecuación (22.27) para evaluar una integral es que la función
trasformada será singular en uno de los límites. Pueden usarse las fórmulas de integra-
ción abierta para evitar este dilema, ya que permiten la estimación de la integral sin
emplear los puntos extremos del intervalo de integración. Para tener máxima flexi-
bilidad, se requiere una de las fórmulas abiertas vistas en la tabla 21.4 de aplicación
múltiple.
Las fórmulas abiertas de aplicación múltiple podrán combinarse con las fórmulas
cerradas para los segmentos interiores y fórmulas abiertas para los extremos. Por ejem-
plo, si se combinan la regla del trapecio de segmentos múltiples y la regla del punto
medio se obtiene
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