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666 INTEGRACIÓN DE ECUACIONES

La primera integral se evalúa empleando la ecuación (22.27):

0
∫ –∞ e – x 2 /2 dx = ∫ −12 1 2 e −12t 2 ) dt
–2
/(
/ t
Después la regla extendida del punto medio con h = 1/8 se empleará para estimar
1
∫ 0 1 e − 12t/( 2 ) dt ≅ [ ( ) + f x ( ) + f x ( ) + f x ( )]
f x
716
516
1 16
12 t
− / 2 8 − / − / − / 316 − /
1
.
= [. + + + ] 0 0556
0 3833 0 0612 0 0 =.
8
Para estimar la segunda integral se usa la regla de Simpson 1/3 con h = 0.5, como sigue
∫ 1 e −x / 2 dx
2
−2
0 1353. + 4 0 3247 0 8825 0 8825( . + . + . ) + 2 0 6065 1( . + ) + 0 6065.
= 1[ − −2( )]
36()
= 2 0523.
Entonces, el resultado final se calcula mediante

1
N()1 ≅ ( .0 0556 2+ .0523 = . 0 8409
)
2π
que representa un error e = 0.046 por ciento.
t

El cálculo anterior mejora de diferentes maneras. Primero, se podrían utilizar fórmu-
las de grado superior; por ejemplo, mediante una integración de Romberg. Segundo,
pueden usarse más puntos. Press y colaboradores (1986) exploran con detalle ambas
opciones.
Además de los límites infinitos, hay otras formas en las cuales una integral llega a
ser impropia. Ejemplos comunes incluyen casos donde la integral es singular tanto en
los límites como en un punto dentro de la integral. Press y colaboradores (1986) ofrecen
un excelente análisis sobre las formas de manejar esas situaciones.

PROBLEMAS

22.1 Use la integración de Romberg para evaluar obtenido con la integración de Romberg. Verifique que e t es
menor que el criterio de detención e s .
2
8
I = ∫ 1 2 ⎛ ⎝ 2 x + 3 ⎞ dx 22.2 Utilice la integración de Romberg de orden h para eva-
x ⎠
luar
x
con una exactitud de e s = 0.5%. Debe presentar sus resultados en 0 ∫ 3 xe dx
la forma de la figura 22.3. Utilice la solución analítica de la in-
tegral para determinar el error relativo porcentual del resultado Compare e a y e t .

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