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CAPÍTULO 23

Diferenciación numérica

En el capítulo 4 ya se introdujo la noción de diferenciación numérica. Recuerde que se
emplearon las expansiones en serie de Taylor para obtener las aproximaciones de las de-
rivadas en diferencias divididas finitas. En el mismo capítulo se desarrollaron las aproxi-
maciones en diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centradas para la primer
derivada y las derivadas de orden superior. Recuerde que, en el mejor de los casos, dichas
estimaciones tenían errores que fueron O(h ); es decir, sus errores eran proporcionales al
2
cuadrado del tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la
serie de Taylor que se utilizaron durante la deducción de esas fórmulas. Ahora se mostra-
rá cómo desarrollar fórmulas de mayor exactitud utilizando más términos.

23.1 FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN CON ALTA EXACTITUD

Como se indica antes, se pueden generar fórmulas por diferencias divididas de alta exac-
titud tomando términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Por ejemplo, la
expansión de la serie de Taylor hacia adelante se escribe como [ecuación (4.21)]:

x
f ′′()
2
f(x ) = f(x ) + f ′(x )h + i h +··· (23.1)
i+1 i i
2
de la que se despeja
′′
x
fx( ) − fx() f ()
f ′(x ) = i+1 i − i h + O(h ) (23.2)
2
i
h 2
En el capítulo 4 truncamos este resultado al excluir los términos de la segunda de-
rivada en adelante y nos quedamos con un resultado final,
fx( ) − fx( )
f ′(x ) = i+1 i + O(h) (23.3)
i
h
Ahora retendremos, en cambio, el término de la segunda derivada sustituyendo la
siguiente aproximación de la segunda derivada [recuerde la ecuación (4.24)]

fx( ) − 2 fx( ) + fx( )
f ′′(x ) = i+2 i+1 i + O(h) (23.4)
i 2
h
en la ecuación (23.2) para dar

fx′() = fx( i+1 ) − fx( ) − fx( i+2 ) − 2 fx( i+1 ) + fx( ) hO h(+ 2 )
i
i
i
h 2 h 2

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