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23.1 FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN CON ALTA EXACTITUD 669

o, al agrupar términos,

− fx( ) + 4 fx( ) − 3 fx( )
fx′() = i+2 i+1 i + Oh( 2 )
i
2 h (23.5)
2
Observe que al incluir el término de la segunda derivada mejora la exactitud a O(h ).
Es posible desarrollar versiones similares mejoradas para las fórmulas hacia adelante
y centradas, así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior. Las
fórmulas se resumen en las figuras 23.1 a 23.3, junto con todos los resultados del capí-
tulo 4. El siguiente ejemplo ilustra la utilidad de esas fórmulas para la estimación de las
derivadas.

FIGURA 23.1
Fórmulas de diferencias divididas fi nitas hacia delante: se presentan dos versiones para
cada derivada. La última versión emplea más términos de la expansión de la serie de Taylor
y, en consecuencia, es más exacta.

Primera derivada Error

fx( ) − fx( )
fx′() = i+1 i O(h)
i
h
− fx( ) + 4 fx( ) − 3 fx( )
fx′() = i+2 i+1 i O(h )
2
i
2 h

Segunda derivada
fx( ) − 2 fx( ) + fx( )
fx″() = i+2 i+1 i O(h)
i
h 2
− fx( ) + 4 fx( ) − 5 fx( ) + 2 fx( )
fx″() = i+3 i+2 2 i+1 i O(h )
2
i
h
Tercera derivada
fx( ) − 3 fx( ) + 3 fx( ) − fx( )
fx″() = i+3 i+2 i+1 i O(h)
i
h 3
fx″() = −3 fx( i+4 ) +14 fx( i+3 ) − 24 fx( i+2 ) +18 fx( i+1 ) − 5 fx( ) O(h )
2
i
i 2 h 3

Cuarta derivada
f ″″() = fx( i+4 ) − 4 fx( i+3 ) + 6 fx( i+2 ) − 4 fx( i+1 ) + fx( )
i
x
i 4 O(h)
h
−2 fx ( ) +11 fx ( ) − 24 fx ( ) + 26 fx ( ) −14 fx ( ) + 3 fx ( )
f ″″() = i+5 i+4 i+3 i+2 i+1 i O(h )
x
2
i
h 4

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