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670 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Primera derivada Error
fx() − fx( )
fx′() = i i−1 O(h)
i
h
3 fx () − 4 fx ( ) + fx ( )
fx ′() = i i−1 i−2 O(h )
2
i
2 h
Segunda derivada
fx() − 2 fx( ) + fx( )
fx″() = i i−1 i−2 O(h)
i 2
h
fx″() = 2 fx() − 5 fx( i−1 ) + 4 fx( i−2 ) − fx( i−3 ) O(h )
i
2
i 2
h
Tercera derivada
FIGURA 23.2 fx″() = fx() − 3 fx( i−1 ) + 3 fx( i−2 ) − fx( i−3 ) O(h)
i
Fórmulas de diferencias i h 3
divididas fi nitas hacia atrás: fx() = 5 fx() −18 fx( i−1 ) + 24 fx( i−2 ) −14 fx( i−3 ) + 3 fx( i−4 ) O(h )
″
2
i
se presentan dos versiones i 2 h 3
para cada derivada. La Cuarta derivada
última versión emplea más ) +
términos de la expansión f ″″() = fx() − 4 fx( i−1 ) + 6 fx( i−2 ) − 4 fx( i−3 fx( i−4 ) O(h)
x
i
i
4
de la serie de Taylor y, h
en consecuencia, es más f ″″() = 3 fx() −14 fx( i−1 ) + 26 fx( i−2 ) − 24 fx( i−3 ) +11 fx( i−4 ) − 2 fx( i−5 ) O(h )
x
i
2
exacta. i h 4
FIGURA 23.3 Primera derivada Error
Fórmulas de diferencias ) −
divididas fi nitas centradas: fx′() = fx( i+1 fx( i−1 ) O(h )
2
i
se presentan dos versiones 2 h
para cada derivada. La fx′() = − fx( i+2 ) + 8 fx( i+1 ) − 8 fx( i−1 ) + fx( i−2 ) O(h )
4
última versión emplea más i 12 h
términos de la expansión Segunda derivada
de la serie de Taylor y, fx( ) +
en consecuencia, es más fx″() = fx( i+1 ) − 2 i fx( i−1 ) O(h )
2
i h 2
exacta.
fx″() = − fx( i+2 ) +16 fx( i+1 ) − 30 fx( ) +16 fx( i−1 ) − fx( i−2 ) O(h )
i
4
i
12 h 2
Tercera derivada
fx( ) − 2 fx( ) + 2 fx( ) − fx( )
x
2
f ′′′() = i+2 i+1 i−1 i−2 O(h )
i
2 h 3
− fx ( ) + 8 fx ( ) −13 fx ( ) +13 fx ( ) − 8 fx ( ) + fx ( )
f ′′′() = i+3 i+2 i+1 i−1 i−2 i−3
x
i 8 h 3 O(h )
4
Cuarta derivada
fx( ) − 4 fx( ) + 6 fx( ) − 4 fx( ) + fx( )
f ″″() = i+2 i+1 i i−1 i−2 O(h )
2
x
i
h 4
− fx ( ) +12 fx ( ) + 39 fx ( ) + 56 fx ( ) − 39 fx ( ) +12 fx ( ) + fx ( )
f ″″() = i+3 i+2 i+1 i i−1 i−2 i−3 O(h )
x
4
i
6 h 4 4
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