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23.1 FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN CON ALTA EXACTITUD 671

EJEMPLO 23.1 Fórmulas de diferenciación con alta exactitud

Planteamiento del problema. Recuerde que en el ejemplo 4.4 estimamos la derivada
de
4
3
2
f(x) = –0.1x – 0.15x – 0.5x – 0.25x + 1.2
en x = 0.5 usando diferencias divididas finitas y un tamaño de paso: h = 0.25,
Hacia adelante Hacia atrás Centrada
O (h) O (h) O (h )
2
Estimación –1.155 –0.714 –0.934
e (%) –26.5 21.7 –2.4
t
donde los errores fueron calculados basándose en el valor verdadero: –0.9125. Repita
este cálculo, pero ahora emplee las fórmulas con alta exactitud a partir de las figuras
23.1 a 23.3.

Solución. Los datos necesarios para este ejemplo son
x = 0 f(x ) = 1.2
i–2 i–2
x = 0.25 f(x ) = 1.103516
i–1 i–1
x = 0.5 f(x ) = 0.925
i i
x = 0.75 f(x ) = 0.6363281
i+1 i+1
x = 1 f(x ) = 0.2
i+2 i+2
2
La diferencia hacia adelante de exactitud O(h ) se calcula como sigue (figura 23.1):
− . 0 2 4+ ( .0 6363281 ) 3− ( .0 925 )
f ′(. )05 = =− . 0 859375 ε = 5 . %82
20 t
(. )25
2
La diferencia hacia atrás de exactitud O(h ) se calcula como (figura 23.2):
3 (.0 925 ) 4− ( .1 035156 ) 1+ .2
f ′(. )05 = =− . 0 878125 ε = 3 . %77
20 t
(. )25
4
La diferencia centrada de exactitud O(h ) se calcula como (figura 23.3):
− . 0 2 8+ ( .0 6363281 ) 8 035156− ( .1 ) 1+ .2
f ′(. )05 = =− . 0 9125 ε = 0 %
12 (. )0 25 t

Como se esperaba, los errores para las diferencias hacia adelante y hacia atrás son
considerablemente menores y los resultados más exactos que los del ejemplo 4.4. Sin
embargo, de manera sorprendente, la diferencia centrada da un resultado perfecto. Esto
es porque las fórmulas se basan en la serie de Taylor, y son equivalentes a polinomios
que pasan a través de los puntos.

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