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672 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

23.2 EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON

Hasta aquí hemos visto que hay dos formas para mejorar la estimación obtenida al em-
plear diferencias divididas finitas: 1. disminuir el tamaño de paso o 2. usar una fórmula
de grado superior que emplee más puntos. Un tercer procedimiento, basado en la extra-
polación de Richardson, utiliza dos estimaciones de la derivada para calcular una terce-
ra aproximación más exacta.
Recuerde de la sección 22.1.1 que la extrapolación de Richardson constituye un
medio para obtener una mejor estimación de la integral I por medio de la fórmula [ecua-
ción (22.4)]
1
I ≅ I h +() [( Ih( )] (23.6)
Ih −)
2
(/ 2 −1 2 1
hh )
1 2
donde I(h ) e I(h ) son estimaciones de la integral obtenidas usando dos tamaños de paso,
1 2
h y h . Debido a su conveniencia cuando se expresa como un algoritmo computacional,
1 2
esta fórmula usualmente se escribe para el caso en que h = h /2, como
2 1
4 1
I ≅ I(h ) – I(h ) (23.7)
3 2 3 1
De manera similar, la ecuación (23.7) se escribirá para las derivadas como
4 1
D ≅ D(h ) – D(h ) (23.8)
3 2 3 1
2
Para aproximaciones por diferencia centrada con O(h ), la aplicación de esta fórmula
4
dará una nueva estimación de la derivada de O(h ).
EJEMPLO 23.2 Extrapolación de Richardson
Planteamiento del problema. Utilizando la misma función que en el ejemplo 23.1,
estime la primera derivada en x = 0.5 empleando tamaños de paso h = 0.5 y h = 0.25.
1 2
Después, con la ecuación (23.8) calcule una mejor estimación con la extrapolación de
Richardson. Recuerde que el valor verdadero es –0.9125.

Solución. Las estimaciones de la primera derivada se calculan con diferencias centra-
das como sigue:
02 12. − .
D(0.5) = = –1.0 e = –9.6%
1 t
y
0 6363281 1 103516. − .
D(0.25) = = –0.934375 e = –2.4%
05. t
Se determina una mejor estimación aplicando la ecuación (23.8) al obtener

4 1
D = ( −0 934375. ) – ( − = −1) 0 9125.
3 3
que, en este caso, es un resultado perfecto.

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