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23.3 DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS 673

El ejemplo anterior dio un resultado perfecto debido a que la función analizada era
un polinomio de cuarto grado. El resultado perfecto se debió al hecho de que la extra-
polación de Richardson, en realidad, es equivalente a ajustar un polinomio de grado
superior a los datos y después evaluar las derivadas con diferencias divididas centradas.
Así, este caso concuerda, precisamente, con la derivada del polinomio de cuarto grado.
Para las otras funciones que no son polinomios, por supuesto, esto no ocurrirá y nuestra
estimación de la derivada será mejor, pero no perfecta. En consecuencia, como en el caso
de la aplicación de la extrapolación de Richardson, el procedimiento puede aplicarse de
manera iterativa usando un algoritmo de Romberg, hasta que el resultado se halle por
debajo de un criterio de error aceptable.

23.3 DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS

Los procedimientos analizados hasta ahora se diseñaron principalmente para determinar
la derivada de una función dada. Para las aproximaciones por diferencias divididas fi-
nitas de la sección 23.1, los datos deben estar igualmente espaciados. Para la técnica de
extrapolación de Richardson de la sección 23.2, los datos deben estar igualmente espa-
ciados y generados por sucesivas divisiones a la mitad de los intervalos. Para tener un
buen control del espaciamiento de datos, con frecuencia, sólo es posible cuando se uti-
liza una función para generar la tabla de valores.
Sin embargo, la información empírica (es decir, datos a partir de experimentos o de
estudios de campo) con frecuencia se obtiene a intervalos desiguales. Tal información
no puede analizarse con las técnicas estudiadas hasta aquí.
Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un
polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado [recuerde la ecuación (18.23)]
a cada conjunto de tres puntos adyacentes. Recuerde que estos polinomios no requieren
que los puntos estén igualmente espaciados. Si se deriva analíticamente el polinomio de
segundo grado se obtiene

fx′() = f x( i−1 ) 2 x − x − x i+1 + fx () 2 x − x i−1 − x i+1
i
i
x ( i−1 − x )( x i−1 − x ) x ( i − x )( x − x )
i+1
i+1
i
i−1
i
+ fx ( ) 2 x − x i−1 − x i (23.9)
i+1 − −
x ( x )( x x )
i+1 i−1 i+1 i
donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada. Aunque esta ecuación es más
complicada que las aproximaciones de la primera derivada de las figuras 23.1 a 23.3,
tiene importantes ventajas. Primero, sirve para estimar la derivada en cualquier punto
dentro de un intervalo determinado por los tres puntos. Segundo, los puntos no tienen
que estar igualmente espaciados y tercero, la estimación de la derivada tiene la misma
exactitud que la diferencia centrada [ecuación (4.22)]. De hecho, con puntos igualmen-
te espaciados, la ecuación (23.9) evaluada en x = x se reduce a la ecuación (4.22).
i
EJEMPLO 23.3 Diferenciación de datos irregularmente espaciados
Planteamiento del problema. Como se muestra en la figura 23.4, un gradiente de
temperatura puede medirse abajo del suelo. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire
puede calcularse mediante la ley de Fourier,

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