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23.4 DERIVADAS E INTEGRALES PARA DATOS CON ERRORES 675

diferenciación numérica es que tiende a amplificar los errores de los datos. La figura
23.5a muestra datos uniformes sin errores, que al diferenciarse numéricamente producen
un resultado adecuado (figura 23.5c). En cambio, la figura 23.5b usa los mismos datos,
pero con algunos puntos ligeramente por arriba y otros por abajo. Esta peque-
ña modificación es apenas notoria en la figura 23.5b. Sin embargo, el efecto resultante
en la figura 23.5d es significativo, ya que el proceso de diferenciación amplifica los
errores.
Como era de esperarse, el principal procedimiento para determinar derivadas de
datos imprecisos consiste en usar regresión por mínimos cuadrados, para ajustar una
función suave y diferenciable a los datos. Si no se tiene alguna otra información, una
regresión polinomial de grado inferior podría ser una buena elección. Obviamente, si se
conoce la verdadera relación funcional entre las variables dependiente e independiente,
esta relación deberá ser la base para el ajuste por mínimos cuadrados.

23.4.1 Diferenciación versus integración de datos inciertos
Así como las técnicas para el ajuste de curvas, como la regresión, se utilizan para dife-
renciar datos inciertos, se emplea un proceso similar para la integración. No obstante,
debido a la diferencia en estabilidad entre diferenciación e integración, esto rara vez se
hace.
Como se ilustró en la figura 23.5, la diferenciación tiende a ser inestable; es decir,
amplifica los errores. En cambio, el hecho de que la integración sea un proceso de suma

FIGURA 23.5
Ilustración de cómo los
y y
pequeños errores en
los datos se amplifi can
mediante la diferencición
numérica: a) datos sin
error, b) datos modifi cados
ligeramente, c) resultado de
la diferenciación numérica
t t
que se obtiene de la curva a) b)
a), y d) la diferenciación
resultante de la curva b) que Diferenciando Diferenciando
manifi esta un aumento en
la variabilidad. En cambio,
la operación inversa de
dy dy
integración [moviéndose de dt dt
d) a b) y tomando el área
bajo d)] tienden a suavizar
o atenuar los errores en los
datos.

t t
c) d)

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