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680 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

23.4 Emplee la extrapolación de Richardson para estimar la dt() = gm t − (/ cm t )
primera derivada de y = cos x en x = p/4, con el uso de tamaños c ∫ 0 ( −1 e ) dt (P23.12b)
de paso de h = p/3 y h = p/6. Utilice diferencias centradas de
1 2 Dadas g = 9.81, m = 70 y c = 12,
2
O(h ) para las estimaciones iniciales.
a) Use MATLAB para integrar la ecuación (P23.12a), de t =
23.5 Repita el problema 23.4, pero para la primera derivada de
0 a 10.
ln x en x = 5, con h = 2 y h = 1.
1 2 b) Integre la ecuación (P23.12b) en forma analítica, con la
23.6 Emplee la ecuación (23.9) para determinar la primera de- condición inicial de que d = 0 y t = 0. Evalúe el resultado
4
3
rivada de y = 2x – 6x – 12x – 8 en x = 0, con base en los valores
en t = 10 para confirmar el inciso a).
de x = -0.5, x = 1 y x = 2. Compare este resultado con el valor
0 1 2 c) Emplee MATLAB para diferenciar la ecuación (P23.12a)
verdadero y con una estimación obtenida con el uso de una
en t = 10.
aproximación por diferencias centradas con base en h = 1.
d) Diferencie en forma analítica la ecuación (P23.12a) en t =
23.7 Demuestre que para puntos de datos equidistantes, la ecua-
10 para confirmar el inciso c).
ción (23.9) se reduce a la ecuación (4.22) en x = x .
i 23.13 La distribución normal se define como
23.8 Calcule las aproximaciones por diferencia central de primer 1
2
4
orden de O(h ) para cada una de las funciones siguientes en la fx() = 2π e − x /2
ubicación y con el tamaño de paso que se especifica:
a) Utilice MATLAB para integrar esta función de x = –1 a 1,
3
a) y = x + 4x – 15 en x = 0, h = 0.25 y de –2 a 2.
2
b) y = x + cos x en x = 0.4, h = 0.1 b) Use MATLAB para determinar los puntos de inflexión de
c) y = tan (x/3) en x = 3, h = 0.5 esta función.
d) y = sen (0.5√ x )/x en x = 1, h = 0.2 23.14 Los datos siguientes se generaron a partir de la distribución
x
e) y = e + x en x = 2, h = 0.2 normal:
x –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2
f (x) 0.05399 0.12952 0.24197 0.35207 0.39894 0.35207 0.24197 0.12952 0.5399
Compare sus resultados con las soluciones analíticas. a) Utilice MATLAB para integrar estos datos de x = –1 a 1 y
23.9 Para un cohete, se recabaron los datos siguientes de la –2 a 2, con la función trap.
distancia recorrida versus el tiempo: b) Emplee MATLAB para estimar los puntos de inflexión de
estos datos.
t, s 0 25 50 75 100 125
23.15 Emplee IMSL para integrar la distribución normal (véase
y, km 0 32 58 78 92 100 el problema 23.13) de x = –1 a 1, de –2 a 2, y de –3 a 3.
23.16 Escriba un programa en MATLAB para integrar
Use diferenciación numérica para estimar la velocidad y acele-
ración del cohete en cada momento. 0 ∫ π 2 / cos (cos xdx
)
23.10 Desarrolle un programa amigable para el usuario a fin de
aplicar el algoritmo de Romberg para estimar la derivada de una 23.17 Escriba un programa en MATLAB que integre
función dada. 2/π sen t
23.11 Desarrolle un programa amigable para el usuario, que 0 ∫ t dt
obtenga estimaciones de la primera derivada para datos irregu- con el uso de las funciones quad y quadL. Para aprender más
larmente espaciados. Pruébelo con los datos siguientes:
acerca de quadL, escriba
x 1 1.5 1.6 2.5 3.5 help quadL
f (x) 0.6767 0.3734 0.3261 0.08422 0.01596
en la barra de MATLAB.
donde f(x) = 5e x. Compare sus resultados con las derivadas 23.18 Use el comando diff(y) en MATLAB y calcule la aproxi-
–2x
verdaderas. mación por diferencia finita de la primera y segunda derivadas
23.12 Recuerde que para el problema del paracaidista que des- en cada valor de x de los que se muestran en la siguiente tabla,
ciende, la velocidad está dada por excepto los dos puntos extremos. Use aproximaciones por dife-
2
v()t = gm − (1 e − (/ )cm t ) (P23.12a) rencias finitas que sean correctas en el segundo orden, O(∆x ).
c x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y la distancia recorrida se obtiene con y 1.4 2.1 3.3 4.5 6.8 6.6 8.6 7.5 8.9 10.9 10

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