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PROBLEMAS 681
⋅
⋅ ⋅
23.19 El objetivo de este problema es comparar las aproxima- ⋅ + r eθ r rθ ⋅ 2 er + ( ¨ θ r ) θ
−
v = re r θ y a = (¨ ) r + 2 eθ
ciones por diferencias finitas de segundo orden exactas hacia
delante, atrás y centradas, de la primera derivada de una función 23.23 Desarrolle un programa de macros en Excel VBA para
con el valor real de la derivada. Esto se hará para leer en columnas adyacentes de una hoja de cálculo los valores
de x y y. Evalúe las derivadas en cada punto con el uso de la
–2x
f(x) = e – x
ecuación 23.9, y muestre los resultados en una tercera columna
que se construya en la hoja, adyacente a las de los valores x y y.
a) Use el cálculo para determinar el valor correcto de la deri-
Pruebe su programa aplicándolo para evaluar las velocidades
vada en x = 2.
para los valores tiempo-posición del problema 23.21.
b) Para evaluar las aproximaciones por diferencias finitas cen-
23.24 Use regresión para estimar la aceleración en cada momen-
tradas, comience con x = 0.5. Así, para la primera evaluación,
to para los datos siguientes con polinomios de segundo, tercero
los valores de x para la aproximación por diferencias cen-
y cuarto orden. Grafique los resultados.
tradas será x = 2 ± 0.5 o x = 1.5 y 2.5. Entonces, disminuya
en pasos de 0.01 hacia abajo hasta un valor mínimo de ∆x t 1 2 3.25 4.5 6 7 8 8.5 9.3 10
= 0.01.
v 10 12 11 14 17 16 12 14 14 10
c) Repita el inciso b) para las diferencias de segundo orden
hacia delante y hacia atrás. (Observe que esto se puede hacer 23.25 Usted tiene que medir la tasa de flujo de agua a través de
al mismo tiempo que la diferencia centrada se calcula en el un tubo pequeño. Para ello, coloque una boquilla en la salida del
lazo.) tubo y mida el volumen a través de ella como función del tiempo,
d) Grafique los resultados de b) y c) versus x. Para efectos de según se ha tabulado a continuación. Estime la tasa de flujo en
comparación, incluya el resultado exacto en la gráfica. t = 7 s.
23.20 Use una expansión en series de Taylor para obtener una
Tiempo, s 0 1 5 8
aproximación a la tercera derivada que tenga una exactitud de
segundo orden, por diferencias finitas centradas. Para hacer esto, Volumen, cm 3 0 1 8 16.4
tendrá que usar cuatro expansiones diferentes para los puntos
23.26 Se mide la velocidad v (m/s) del aire que fluye por una
x , x , x y x . En cada caso, la expansión será alrededor del
i-2 i-1 i+1 i+2 superficie plana a distintas distancias, y (m) de la superficie. De-
punto x . El intervalo ∆x se usará en cada caso de i –1 e i + 1, y
i termine el esfuerzo cortante t (N/m ) en la superficie (y = 0).
2
2∆x se empleará en cada caso de i – 2 e i + 2. Las cuatro ecua-
ciones deben combinarse en forma que se elimine las derivadas τ = µ dv
primera y segunda. Utilice suficientes términos en cada expansión dy
para evaluar el primer término que se truncará a fin de determi- Suponga un valor de viscosidad dinámica µ = 1.8 × 10 N · s/m .
2
–5
nar el orden de la aproximación.
23.21 Use los datos siguientes para encontrar la velocidad y y, m 0 0.002 0.006 0.0012 0.018 0.024
aceleración en t = 10 segundos: v, m/s 0 0.287 0.899 1.915 3.048 4.299
Tiempo, t, s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 23.27 Es frecuente que las reacciones químicas sigan este modelo:
Posición, x, m 0 0.7 1.8 3.4 5.1 6.3 7.3 8.0 8.4 dc
=− kc n
dt
Emplee los métodos de diferencias finitas correctas de segundo
orden a) centradas, b) hacia delante, c) hacia atrás. donde c = concentración, t = tiempo, k = tasa de reacción, y
23.22 Un avión es seguido por radar, y se toman datos cada n = orden de reacción. Es posible evaluar valores dados de c
segundo en coordenadas polares q y r. y dc/dt, k y n, por medio de regresión lineal del logaritmo de
esta ecuación:
t, s 200 202 204 206 208 210 ⎛ dc ⎞
log − = log + log c
kn
q, (rad) 0.75 0.72 0.70 0.68 0.67 0.66 ⎝ dt ⎠
r, m 5 120 5 370 5 560 5 800 6 030 6 240 Use este enfoque y los datos que siguen para estimar los valores
de k y n:
A los 206 segundos, utilice diferencias finitas centradas (correc-
tas de segundo orden) para encontrar las expresiones vectoriales t 10 20 30 40 50 60
→ →
para la velocidad u, y aceleración a. La velocidad y aceleración c 3.52 2.48 1.75 1.23 0.87 0.61
en coordenadas polares son:

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