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24.1 INTEGRACIÓN PARA DETERMINAR LA CANTIDAD TOTAL DE CALOR 683

necesaria para llevar a cabo este cálculo es la capacidad calorífica c. Este parámetro
representa la cantidad de calor requerida para elevar una unidad de temperatura en una
unidad de masa. Si c es constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el
calor requerido ∆H (en calorías) se calcula mediante
∆H = mc ∆T (24.1)

donde c está en cal/(g · °C), m = masa (g) y ∆T = cambio de temperatura (°C). Por ejem-
plo, la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 20 gramos de agua
desde 5 hasta 10°C es igual a:

∆H = 20(1)(10 – 5) = 100 cal
donde la capacidad calorífica del agua es aproximadamente 1 cal/(g · °C). Este cálculo
es adecuado cuando ∆T es pequeño. Sin embargo, para grandes cambios de tem pe-
ratura, la capacidad calorífica no es constante y, de hecho, varía en función de la tem-
peratura. Por ejemplo, la capacidad calorífica de un material podría aumentar con la
temperatura de acuerdo con una relación tal como:

–7
–4
c(T) = 0.132 + 1.56 × 10 T + 2.64 × 10 T 2 (24.2)
En este caso se pide por ejemplo calcular el calor necesario para elevar la temperatura
de 1 000 gramos de este material desde –100 hasta 200°C.

Solución. La ecuación (PT6.4) ofrece una manera para calcular el valor promedio
c(T):
∫ T 2 cT dT()
cT() = T 1 (24.3)
T – T
2 1
que se sustituye en la ecuación (24.1) para dar:
∫
T 2
∆H = m c T dT() (24.4)
T 1
donde ∆T = T 2 – T 1 . Ahora como, en el caso actual, c(T) es una función cuadrática, ∆H
puede determinarse de manera analítica. La ecuación (24.2) se sustituye en la ecuación
(24.4) y después se integra para dar un valor exacto, ∆H = 42 732 cal. Es útil e instruc-
tivo comparar este resultado con los métodos numéricos desarrollados en el capítulo 21.
Para esto, es necesario generar una tabla de valores de c para distintos valores de T:

T, °C c, cal/(g · °C)
–100 0.11904
–50 0.12486
0 0.13200
50 0.14046
100 0.15024
150 0.16134
200 0.17376

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