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774 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

Cuando e es menor que una tolerancia de error e preestablecida, concluyen las itera-
s
a
ciones. En este momento, j = m. El uso de las ecuaciones (26.13) a (26.15) para resolver
una EDO se demuestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 26.2 Método de Heun sin autoinicio

Planteamiento del problema. Con el método de Heun sin autoinicio realice los mis-
mos cálculos como en el ejemplo 25.5 donde se usó el método de Heun. Es decir, integre
y′ = 4e 0.8x – 0.5y y desde x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 1.0. Igual que en el
ejemplo 25.5, la condición inicial en x = 0 es y = 2. Sin embargo, como aquí tenemos un
método de pasos múltiples, requerimos de información adicional, considerando que y =
–0.3929953 en x = –1.

Solución. El predictor [ecuación (26.13)] se utiliza para extrapolar linealmente de
x = –1 a x = 1.
0
y 1 = –0.3929953 + [4e 0.8(0) – 0.5(2)]2 = 5.607005
El corrector [ecuación (26.14)] se usa después para calcular el valor:
0 5 2 +
.(
.(
0 5 5 607005)
y =+ e 4 08 0) − .( ) e 4 08 1) − .( . 1 6 549331= .
1
2
1
2
que representa un error relativo porcentual de –5.73% (valor verdadero = 6.194631). Este
error es más pequeño que el valor de –8.18% en el que se incurre con el método de Heun
de autoinicio.
Ahora, se aplica la ecuación (26.14) de manera iterativa para mejorar la solución:
3+ e 4 08 1) − .( .
.(
0 5 6 549331)
y =+ 1 6 313749= .
2
2
1
2
que representa un e de –1.92%. Se determina un estimado del error utilizando la ecua-
t
ción (26.15):
ε = 6 313749. − 6 549331. 100% = 3 7. %
a
6 313749.
La ecuación (26.14) se aplica de manera iterativa hasta que e esté por debajo de un
a
valor preespecificado de e . Como fue el caso con el método de Heun (recuerde el ejem-
s
plo 25.5), las iteraciones convergen a un valor de 6.360865 (e = –2.68%). Sin embargo,
t
como el valor del predictor inicial es más exacto, el método de pasos múltiples converge
más rápido.
En el segundo paso, el predictor es:
0
y 2 = 2 + [4e 0.8(1) – 0.5(6.360865)]2 = 13.44346 e = 9.43%
t
el cual es mejor que la predicción de 12.08260 (e = 18%) calculada con el método de
t
Heun original. El primer corrector da 15.76693 (e = 6.8%), las siguientes iteraciones
t
convergen al mismo resultado como en el método de Heun de autoinicio: 15.30224
(e = –3.1%). Observe que en el paso anterior, la rapidez de convergencia del corrector
t
es mayor debido a la mejoría de la predicción inicial.
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