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26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 775

Deducción y análisis del error de las fórmulas del predictor-corrector. Ya emplea-
mos conceptos gráficos para deducir el método de Heun sin autoinicio. Ahora mostra-
remos cómo las mismas ecuaciones se pueden deducir en forma matemática. Tal
deducción es interesante en especial porque vincula los conceptos de ajuste de curvas, de
integración numérica y de EDO. La deducción también es útil porque ofrece un proce-
dimiento simple para desarrollar métodos de pasos múltiples de orden superior y una
estimación de sus errores.
La deducción se basa en resolver la EDO general
dy
= fx y(, )
dx
Esta ecuación se resuelve multiplicando ambos lados por dx e integrando entre los lími-
tes i e i + 1:
∫ y i+1 dy = ∫ x i+1 f x y dx(, )
y i x i
El lado izquierdo se integra y evalúa mediante el teorema fundamental [recuerde la
ecuación (25.21)]:

y = y + ∫ x i+1 f x y dx(, ) (26.16)
i+1 i
x i
La ecuación (26.16) representa una solución a la EDO si la integral puede evaluar-
se. Es decir, proporciona un medio para calcular un nuevo valor de la variable depen-
diente y a partir de un valor previo y y del conocimiento de la ecuación diferencial.
i+1
i
Las fórmulas de integración numérica como las que se desarrollaron en el capítulo
21 proporcionan una manera de realizar esta evaluación. Por ejemplo, la regla del trape-
cio [ecuación (21.3)] se utiliza para evaluar la integral, como sigue:
∫ x i+1 fx y dx = fx y + ( i+1 y ) h (26.17)
)
(,
fx ,
i
i
i+1
(, )
x i 2
donde h = x – x es el tamaño de paso. Sustituyendo la ecuación (26.17) en la ecuación
i
i+1
(26.16) se tiene:
(, )
fx y + ( y )
fx ,
y i+1 = y + i i i+1 i+1 h
i
2
que es el paso corrector para el método de Heun. Como esta ecuación se basa en la regla
del trapecio, el error de truncamiento se puede tomar directamente de la tabla 21.2:
E =− 1 h y ()ξ =− 1 h f ()ξ″ (26.18)
3
3 ()
3
c
12 c 12 c
donde el subíndice c indica que éste es el error del corrector.
Se utiliza un procedimiento similar para obtener el predictor. En este caso, los lí-
mites de integración serán i – 1 e i + 1:
∫ y i+1 dy = ∫ x i+1 f x y dx(, )
y i−1 x i−1

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