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776 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

que se integra y se reordena para tener

y i+1 = y i−1 + ∫ x i+1 f x y dx(, ) (26.19)
x i−1
Ahora, no se emplea una fórmula cerrada de la tabla 21.2, sino que se utiliza la primera
fórmula de integración abierta de Newton-Cotes (véase tabla 21.4) para evaluar la integral,
como sigue:
∫ x i+1 fx y dx(, ) = 2 hf x y( , ) (26.20)
i
i
x i−1
que se llama método del punto medio. Sustituyendo la ecuación (26.20) en la ecuación
(26.19) se obtiene:
y = y + 2hf(x ,y )
i
i+1
i
i–1
el cual es el predictor para el método de Heun sin autoinicio. Como en el corrector, el
error de truncamiento local se puede tomar directamente de la tabla 21.4:
E = 1 h y ()ξ = 1 h f ()ξ″ (26.21)
3
3 ()
3
p p p
3 3
donde el subíndice p indica que éste es el error del predictor.
Así, el predictor y el corrector en el método de Heun sin autoinicio tiene errores de
truncamiento del mismo orden. Además de actualizar la exactitud del predictor, este
hecho tiene ventajas adicionales relacionadas con el análisis del error, como se verá en
la siguiente sección.
Estimación de errores. Si el predictor y el corrector de un método de pasos múltiples
son del mismo orden, el error de truncamiento local puede estimarse en el proceso de
cada cálculo. Esto representa una enorme ventaja, ya que establece un criterio para el
ajuste del tamaño de paso.
El error de truncamiento local del predictor se estima con la ecuación (26.21). Dicho
error estimado se combina con el estimado de y del paso predictor para dar [recuerde
i+1
nuestra definición básica en la ecuación (3.1)]:
3 ()
3
Valor verdadero = y 0 + 1 h y ()ξ (26.22)
i+1 p
3
Usando un procedimiento similar, el error estimado para el corrector [ecuación (26.18)]
se combina con el resultado del corrector y i+1 para llegar a:
1 3 ()
m
3
Valor verdadero = y i+1 − h y ()ξ c (26.23)
12
La ecuación (26.22) se resta de la ecuación (26.23) para tener:
3
3 ()
0 = y m + i 1 − y 0 + i 1 − 5 h y ()ξ (26.24)
12
donde x está ahora entre x y x . Ahora, si se divide la ecuación (26.24) entre 5 y se
i+1
i–1
reordena el resultado se obtiene:
0
y i+1 − y m =− 1 hy ()ξ (26.25)
i+1
3
3 ()
5 12
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