Page 804 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

780 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

26.2.2 Control del tamaño de paso y programas computacionales
Tamaño de paso constante. Es relativamente simple desarrollar una versión con tamaño
de paso constante del método de Heun sin autoinicio. La única complicación es que se requie-
re de un método de un paso para generar el punto extra necesario para iniciar el cálculo.
Además, como se emplea un tamaño de paso constante, se debe elegir un valor para
h antes de los cálculos. En general, la experiencia indica que un tamaño de paso óptimo
deberá ser lo suficientemente pequeño para asegurar la convergencia con dos iteracio-
nes del corrector (Hull y Creemer, 1963). Además, debe ser lo suficientemente pequeño
para dar un error de truncamiento lo suficientemente pequeño. Al mismo tiempo, el
tamaño de paso deberá ser tan grande como sea posible para minimizar el costo de
ejecución y el error de redondeo. Como se hizo con los otros métodos para EDO, la
única forma práctica para evaluar la magnitud del error global es comparar los resultados
del mismo problema utilizando la mitad del tamaño de paso.
Tamaño de paso variable. Normalmente se utilizan dos criterios para decidir si se
justifica un cambio de tamaño de paso. Primero, si la ecuación (26.26) es mayor que al-
gún criterio de error preespecificado, se disminuye el tamaño de paso. Segundo, se
elige el tamaño de paso de manera tal que el criterio de convergencia del corrector
se satisfaga con dos iteraciones. Este criterio busca tomar en cuenta las ventajas y las
desventajas entre la rapidez de convergencia y el número total de pasos en el cálculo.
Para valores más pequeños de h la convergencia será más rápida, pero se requieren más
pasos. Para valores más grandes de h la convergencia se vuelve más lenta, pero se tiene
un menor número de pasos. La experiencia (Hull y Creemer, 1963) sugiere que el total
de pasos se minimizará si h se elije de tal forma que el corrector converja en dos itera-
ciones. Por lo tanto, si se quieren más de dos iteraciones, el tamaño de paso se disminu-
ye; y si se requieren menos de dos iteraciones el tamaño de paso se incrementa.
Aunque la estrategia anterior especifica el momento en que las modificaciones del
tamaño de paso es el adecuado, no indica cómo habrá que cambiarlas. Ésta es una situa-
ción crítica, ya que los métodos de pasos múltiples requieren de varios puntos previos
para calcular un nuevo punto. Una vez que se cambie el tamaño de paso, debe determi-
narse un nuevo conjunto de puntos. Un procedimiento es comenzar de nuevo los cálcu-
los y usar el método de un paso para generar un nuevo conjunto de puntos de inicio.
Una estrategia más eficiente que utiliza la información existente consiste en aumen-
tar y disminuir el tamaño de paso, mediante su duplicación o reducción a la mitad. Como
se ilustra en la figura 26.6b, si se ha generado un número suficiente de valores previos,
aumentar el tamaño de paso por duplicación será una tarea relativamente directa (figu-
ra 26.6c). Todo lo que se necesita es rastrear los subíndices de tal forma que los valores
anteriores de x y de y sean los nuevos valores apropiados. La reducción del tamaño de
paso a la mitad es más complicada, ya que algunos de los nuevos valores no estarán
disponibles (figura 26.6a). Aunque se puede utilizar la interpolación polinomial del tipo
que se desarrolló en el capítulo 18 para determinar estos valores intermedios.
En cualquier caso, la decisión de incorporar el control del tamaño de paso represen-
ta ventajas y desventajas entre la inversión inicial por la complejidad del programa
contra los dividendos a largo plazo que se tendrán con el aumento en la eficiencia. En
efecto, la magnitud e importancia del problema mismo tendrá un gran peso en dicha elec-
ción. Por fortuna, varios paquetes de software y bibliotecas tienen las rutinas de pasos
múltiples que usted puede utilizar para obtener soluciones sin necesidad de programar-

6/12/06 14:02:34
Chapra-26.indd 780 6/12/06 14:02:34
Chapra-26.indd 780