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26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 783

para estimar únicamente la integral del último segmento del intervalo. Esta integral se
usa después para proyectar a través de este último segmento.

Fórmulas de Newton-Cotes. Algunas de las fórmulas más conocidas para resolver
ecuaciones diferenciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolación de
n-ésimo grado a n + 1 valores conocidos de y y, después esta ecuación, se utiliza para calcu-
lar la integral. Como se analizó antes en el capítulo 21, las fórmulas de integración de
Newton-Cotes se basan en tal procedimiento y son de dos formas: abiertas y cerradas.
Fórmulas abiertas. Para n valores igualmente espaciados, las fórmulas abiertas se
pueden expresar en la forma de una solución para una EDO, como se hizo antes para la
ecuación (26.19). La ecuación general para este propósito es

y i+1 = y i n− + ∫ x i+1 f x dx() (26.31)
n
x in−
donde f (x) es un polinomio de interpolación de n-ésimo grado. La evaluación de la
n
integral emplea la fórmula de integración abierta de Newton-Cotes de n-ésimo orden
(tabla 21.4). Por ejemplo, si n = 1,

y = y + 2hf i (26.32)
i+1
i–1
donde f es una abreviatura de f(x , y ); es decir, la ecuación diferencial evaluada en x y
i
i
i
i
y . Se hace referencia a la ecuación (26.32) como el método de punto medio y se utilizó
i
antes como el predictor en el método de Heun sin autoinicio. Para n = 2,
y = y + h 3 ( f + f )
i+1 i−2 i i−1
2
y para n = 3,
y = y + 4 h 2 ( f − f + f 2 ) (26.33)
i+1 i−3 i i−1 i−2
3
La ecuación (26.33) se representa gráficamente en la figura 26.8a.

Fórmulas cerradas. La forma cerrada se expresa de manera general como

y i+1 = y i n− +1 + ∫ x i+1 f x dx() (26.34)
n
x in−+1
donde la integral se determina por una fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes
de n-ésimo orden (tabla 21.2). Por ejemplo, para n = 1,
h
y i+1 = y + ( f + f )
i
i
i+1
2
que es equivalente a la regla del trapecio. Para n = 2,
y i+1 = y i−1 + h f ( i−1 + 4 f + f ) (26.35)
i
i+1
3
que es equivalente a la regla de Simpson 1/3. La ecuación (26.35) se representa en la
figura 26.8b.

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