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26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 787

Cuadro 26.1 Deducción de relaciones generales para modificadores

La relación entre el valor verdadero, la aproximación y el error ηδ p m 0
c
de un predictor se representa en forma general como E ≅− ηδ +η δ ( y − y ) (C26.1.4)
i+1
c
i+1
η c p p c
Valor verdadero = y + p h y n+1) ξ () (C26.1.1)
n+1 (
0
i+1 δ p
p Para el modifi cador del predictor, la ecuación (C26.1.3) se
despeja en el paso anterior:
donde h p y d p = numerador y denominador, respectivamente, de
la constante del error de truncamiento de un predictor, ya sea δδ
p
m
n
de Newton-Cotes abierto (tabla 21.4) o de Adams-Bashforth hy n ( +1 ) () =−ξ ηδ c +η δ y ( i 0 − y )
i
(tabla 26.1) y n es el orden. c p p c
Se desarrolla una relación similar para el corrector:
η que podrá sustituirse en el término del error de la ecuación
Valor verdadero = y − c h y n+1) ξ () (C26.1.2)
n+1 (
m
c
δ c (C26.1.1) para tener
i+1
donde h c y d c = numerador y denominador, respectivamente, de ηδ
pc
0
la constante del error de truncamiento de un corrector, ya sea E = ηδ +η δ y ( m i – y ) (C26.1.5)
i
p
de Newton-Cotes cerrado (tabla 21.2) o de Adams-Moulton c p p c
(tabla 26.2). Como en la deducción de la ecuación (26.24), la
Las ecuaciones (C26.1.4) y (C26.1.5) son versiones generales de
ecuación (C26.1.1) se resta de la ecuación (C26.1.2) para obtener
modificadores que se utilizan para mejorar algoritmos de pasos
η +η δ / δ múltiples. Por ejemplo, el método de Milne tiene h p = 14, d p =
+
1 (
n
0 = y m − y 0 − c p c p h y n + 1) ξ () (C26.1.3)
δ
+ i 1 + i 1 45, h c = 1, d c = 90. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones
c
(C26.1.4) y (C26.1.5) se obtienen las ecuaciones (26.43) y
Ahora, dividiendo la ecuación entre h c + h p d c /d p , multiplicando (26.42), respectivamente. Podrán desarrollarse modificadores
el último término por d p /d p y reordenando, se obtiene una esti- similares para otros pares de fórmulas abiertas y cerradas que
mación del error de truncamiento local del corrector: tengan errores de truncamiento local del mismo orden.
Se puede usar una diferencia para aproximar la primera derivada:
2
+ (
f ′ = f + i 1 − f i + ′′ f + i 1 hO h )
+ i 1
h 2
que al sustituirse en la ecuación (26.39), y agrupando términos, da
⎞
3
y = y + h ⎛ 1 f + 1 f − 1 h f ′′ − ( 4
O h )
i+1 i i+1 i ⎠ i+1
⎝ 2 2 12
Esta fórmula se conoce como la fórmula cerrada de Adams de segundo orden o la se-
gunda fórmula de Adams-Moulton. Observe también que es la regla del trapecio.
La fórmula cerrada de Adams de n-ésimo orden generalmente se escribe como:
i ∑
y = y + h n−1 β f + O h( n+1 )
i+1 k i+−1 k
k=0
Los coeficientes b se muestran en la tabla 26.2. El método de cuarto orden se ilustra en
k
la figura 26.9b.
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