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26.2 MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 789

EJEMPLO 26.5 Método de Milne

Planteamiento del problema. Con el método de Milne integre y′ = 4e 0.8x – 0.5y desde
x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 1. La condición inicial es x = 0, y = 2. Como
tratamos con un método de pasos múltiples se necesita de puntos previos. En una aplicación
real, se usaría un método de un paso tal como un RK de cuarto orden para calcular los
puntos requeridos. En este ejemplo, usaremos la solución analítica [recuerde la ecuación
(E25.5.1) del ejemplo 25.5] obteniéndose para x = –3, x = –2 y x = –1 los valores
i–3
i–1
i–2
exactos y = –4.547302, y = –2.306160 y y = –0.3929953, respectivamente.
i–1
i–3
i–2
Solución. El predictor [ecuación (26.40)] se usa para calcular el valor en x = 1:
y =− 4 54730 +. 41() [ 2 3 −( ) 1 99381 2 1 96067+. ( . )] = 6 02272. ε = 2 8. %
0
1
3 t
El corrector [ecuación (26.41) se emplea después para calcular
y =− 0 3929953+. 1 [ 1 99381 4 3+. ( ) + 5 890802 =. ] 6 235210. ε =− 0 66. %
1
1 t
3
Este resultado puede sustituirse en la ecuación (26.41) para corregir la estimación en forma
iterativa. El proceso converge a un valor final corregido de 6.204855 (e = –0.17%).
t
Este valor es más exacto que la estimación de 6.360865 (e = –2.68%) obtenida
t
antes con el método de Heun sin autoinicio (los ejemplos 26.2 a 26.4). Los resultados
en los siguientes pasos son y(2) = 14.86031 (e = –0.11%), y(3) = 33.72426 (e = –0.14%)
t
t
y y(4) = 75.43295 (e = –0.12%).
t
Como en el ejemplo anterior, el método de Milne generalmente da resultados de
gran exactitud. Sin embargo, hay ciertos casos donde su desempeño es pobre (véase
Ralston y Rabinowitz, 1978). Antes de examinar tales casos, describiremos otro proce-
dimiento multipaso de orden superior: el método de Adams de cuarto orden.
Método de Adams de cuarto orden. Un método común de pasos múltiples basado
en las fórmulas de integración de Adams utiliza la fórmula de Adams-Bashforth de
cuarto orden (tabla 26.1) como predictor:
m
m
y 0 = y + h ⎛ 55 f − 59 f m + 37 f m − 9 f m ⎞ (26.44)
i+1 i i i−1 i−2 i−3 ⎠
⎝ 24 24 24 24
y la fórmula de Adams-Moulton de cuarto orden (tabla 26.2) como corrector:
m ⎞
j−1
m
m
j
m
y i+1 = y + h ⎛ 9 f i+1 + 19 f − 5 f i−1 + 1 f i−2 (26.45)
i
i
⎝ 24 24 24 24 ⎠
Los modificadores del predictor y del corrector para el método de Adams de cuar-
to orden se desarrollan a partir de las fórmulas del cuadro 26.1 y de los coeficientes de
error en las tablas 26.1 y 26.2 como sigue:
251
E = ( y − y ) (26.46)
m
0
p
270 i i
E =− 19 y ( m − y ) (26.47)
0
c
270 i+1 i+1
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