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790 MÉTODOS RÍGIDOS Y DE PASOS MÚLTIPLES

EJEMPLO 26.6 Método de Adams de cuarto orden
Planteamiento del problema. Con el método de Adams de cuarto orden resuelva el
mismo problema que en el ejemplo 26.5.
Solución. El predictor [ecuación (26.44)] se utiliza para calcular el valor en x = 1.
9
y =+ ⎛ ⎝ 55 3 − 59 1 993814 +. 37 1 960667 −. 24 2 2 6365228. ⎞ ⎠ = 6 007539.
0
21
1
24
24
24
ε = 31.%
t
el cual es comparable al resultado que se obtiene usando el método de Milne, aunque
menos exacto. El corrector [ecuación (26.45)] se emplea después para calcular
⎞
9
1
5
y =+ ⎛ ⎝ 24 5 898394 +. 19 3 − 24 1 993814 +. 24 1.9960666 = 6 253214.
1
21
⎠
1
24
ε =− 096.%
t
que también es comparable, aunque menos exacto que el resultado con el método de
Milne. Este resultado se sustituye en la ecuación (26.45) para corregir de manera itera-
tiva el estimado. El proceso converge a un valor corregido final de 6.214424 (e = 0.32%),
t
que es un resultado exacto, pero también inferior al obtenido con el método de Milne.
Estabilidad de los métodos de pasos múltiples. La mejor exactitud del método de
Milne mostrada en los ejemplos 26.5 y 26.6 podría anticiparse considerando los térmi-
nos del error en los predictores [ecuaciones (26.42) y (26.46)] y en los correctores
[ecuaciones (26.43) y (26.47)]. Los coeficientes para el método de Milne, 14/45 y 1/90,
son más pequeños que los de Adams de cuarto orden, 251/720 y 19/720. Además, el
método de Milne emplea menos evaluaciones de la función para alcanzar mejores esti-
mulaciones. Los anteriores resultados podrían llevarnos a la conclusión de que el méto-
do de Milne es superior y, por lo tanto, preferible a los de Adams de cuarto orden.
Aunque esta conclusión se cumple en muchos casos, hay ocasiones en las que el método
de Milne se desempeña en forma inaceptable. Tal comportamiento se muestra en el si-
guiente ejemplo.

EJEMPLO 26.7 Estabilidad de los métodos de Milne y de Adams de cuarto orden
Planteamiento del problema. Use los métodos de Milne y de Adams de cuarto orden
para resolver
dy
=− y
dx
con la condición inicial x = 0, y = 1. Resuelva esta ecuación desde x = 0 hasta x = 10
–x
usando un tamaño de paso h = 0.5. Observe que la solución analítica es y = e .
Solución. Los resultados, como se resumen en la figura 26.10, indican problemas con
el método de Milne. Poco después del inicio de los cálculos, los errores empiezan a
crecer y a oscilar en signo. En x = 10 el error relativo ha crecido a 2 831% y el valor
predicho mismo comienza a oscilar en signo.

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