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27.1 MÉTODOS GENERALES PARA PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA 795

conoce como problemas de valores en la frontera (figura 27.1b). Muchas aplicaciones
importantes en ingeniería son de esta clase. En el presente capítulo analizamos dos
procedimientos generales para obtener su solución: el método de disparo y la aproxima-
ción en diferencias finitas. Además, presentamos técnicas para abordar un tipo especial
de problema de valores en la frontera: la determinación de valores propios (valores ca-
racterísticos o eigenvalores). Por supuesto, los valores propios también tienen muchas
aplicaciones que van más allá de las relacionadas con los problemas de valores en la
frontera.

27.1 MÉTODOS GENERALES PARA PROBLEMAS DE VALORES
EN LA FRONTERA

Se puede utilizar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor para una
barra larga y delgada (figura 27.2). Si la barra no está aislada en toda su longitud y el
sistema se encuentra en estado estacionario, la ecuación resultante es
2
dT + hT −′( T =) 0 (27.1)
dx 2 a
–2
donde h′ es un coeficiente de transferencia de calor (m ) que parametriza la velocidad
con que se disipa el calor en el medio ambiente, y T a es la temperatura del medio am-
biente (°C).
Para obtener una solución de la ecuación (27.1) se deben tener condiciones de fronte-
ra adecuadas. Un caso simple es aquel donde los valores de las temperaturas en los extre-
mos de la barra se mantienen fijos. Estos valores se expresan en forma matemática como

T(0) = T 1
T(L) = T 2

Con estas condiciones, la ecuación (27.1) se puede resolver de manera analítica usando
el cálculo. Para una barra de 10 metros con T = 20, T = 40, T = 200 y h′ = 0.01, la
2
a
1
solución es
T = 73.4523e 0.1x – 53.4523e –0.1x + 20 (27.2)
En las siguientes secciones se resolverá el mismo problema usando procedimientos
numéricos.

T a
FIGURA 27.2
Una barra uniforme no T 1 T 2
aislada colocada entre dos
cuerpos de temperatura T a
constante, pero diferente. En x =0 x = L
este caso, T 1 > T 2 y T 2 > T a .

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