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796 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

27.1.1 El método de disparo

El método de disparo se basa en convertir el problema de valor en la frontera en
un problema de valor inicial equivalente. Posteriormente se aplica un procedimiento
de prueba y error para resolver la versión de valor inicial. El método se ilustrará con un
ejemplo.

EJEMPLO 27.1 El método de disparo

Planteamiento del problema. Utilice el método de disparo para resolver la ecuación
–2
(27.1), con una barra de 10 metros, h′ = 0.01 m , T = 20 y las condiciones de frontera
a
T(0) = 40 T(10) = 200

Solución. Usando el mismo procedimiento que se empleó para transformar la ecuación
(PT7.2) en las ecuaciones (PT7.3) a (PT7.6), la ecuación diferencial de segundo orden
se expresa como dos EDO de primer orden:
dT
= z (E27.1.1)
dx
dz
= ′(– a (E27.1.2)
hT T )
dx
Para resolver estas ecuaciones, se requiere un valor inicial para z. En el método de
disparo, proponemos un valor inicial, digamos, z(0) = 10. La solución se obtiene inte-
grando las ecuaciones (E27.1.1) y (E27.1.2) simultáneamente. Por ejemplo, utilizando un
método RK de cuarto orden con un tamaño de paso de 2, obtenemos un valor en el ex-
tremo del intervalo, T(10) = 168.3797 (figura 27.3a), el cual difiere de la condición de
frontera, T(10) = 200. Por lo tanto, debemos realizar otra suposición, z(0) = 20, y efectuar
de nuevo el cálculo. Esta vez, se obtiene el resultado de T(10) = 285.8980 (figura
27.3b).
Ahora, como la EDO original es lineal, los valores

z(0) = 10 T(10) = 168.3797

y
z(0) = 20 T(10) = 285.8980

están relacionados linealmente. Así, pueden utilizarse para calcular el valor de z(0) que
da T(10) = 200. Se emplea una fórmula de interpolación lineal [recuerde la ecuación
(18.2)] para tal propósito:
20 10−
z()0 = 10 + (200 168− .3797 ) 12= .6907
285 .8980 168− .3797

Este valor se utiliza después para determinar la solución correcta, como se ilustra en la
figura 27.3c.

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