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27.1  MÉTODOS GENERALES PARA PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA  799



                                                      T, C
                                                      200
                                                                          Lineal


                                                      100
                                                                                No lineal

                                                        0
                                                         0                  5                10  z


                                         FIGURA 27.4
                                         El resultado de usar el método de disparo para resolver un problema no lineal.




                                         Ahora, se integran estas ecuaciones usando cualquiera de los métodos que se describen
                                         en los capítulos 25 y 26. Utilizamos la versión con tamaño de paso constante del méto-
                                         do de RK de cuarto orden del capítulo 25. Donde implementamos este procedimiento
                                         como una función macro de Excel escrita en Visual BASIC. La función integró las
                                         ecuaciones partiendo de un valor inicial para z(0) y dio como resultado la temperatura
                                         en x = 10. La diferencia entre este valor y el objetivo de 200 se introdujo luego en una
                                         celda de la hoja de cálculo. El Solver de Excel se utilizó después para ajustar el valor de
                                         z(0) hasta que la diferencia fuera cero.
                                            El resultado se muestra en la figura 27.4 junto con el caso lineal original. Como se
                                         esperaba, el caso no lineal está más “curveado” que el modelo lineal. Lo anterior se debe
                                         al término a la cuarta potencia en la relación de la transferencia del calor.




                                            El método de disparo se vuelve difícil para ecuaciones de orden superior, donde la
                                         necesidad de suponer dos o más condiciones vuelve el procedimiento más difícil. Por
                                         tales razones, se dispone de métodos alternativos que se describen a continuación.

                                         27.1.2  Métodos de diferencias fi nitas

                                         Las alternativas más comunes al método de disparo son los métodos por diferencias
                                         finitas, en las cuales, las diferencias divididas finitas sustituyen a las derivadas en la
                                         ecuación original. Así, una ecuación diferencial lineal se transforma en un conjunto de
                                         ecuaciones algebraicas simultáneas que pueden resolverse utilizando los métodos de la
                                         parte tres.
                                            En el caso de la figura 27.2, la aproximación en diferencias divididas finitas para la
                                         segunda derivada es (recuerde la figura 23.3)
                                              2
                                             dT  =  T −  2 T +  T i 1
                                                             −
                                                    +
                                                   i 1
                                                         i
                                             dx  2     ∆ x  2

                                                                                                         6/12/06   14:03:03
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