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800 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

Esta aproximación se sustituye en la ecuación (27.1) para dar
T − 2 T + T
i+1 i i−1 − ′ T = 0)
hT −(
∆ x 2 i a
Agrupando términos se tiene
−T − i 1 + 2( + ′ h x T)∆ 2 i − T + i 1 = ′ h x T∆ 2 a (27.3)

Esta ecuación es válida para cada uno de los nodos interiores de la barra. Los nodos
interiores primero y último, T y T , respectivamente, se especifican por las condicio-
i–1
i+1
nes de frontera. Por lo tanto, el conjunto resultante de ecuaciones algebraicas lineales
será tridiagonal. Como tal, se resuelve con los algoritmos eficientes de que se dispone
para estos sistemas (sección 11.1).

EJEMPLO 27.3 Aproximación por diferencias fi nitas de problemas con valores en la frontera

Planteamiento del problema. Use el procedimiento por diferencias finitas para re-
solver el mismo problema que en el ejemplo 27.1.

Solución. Empleando los parámetros del ejemplo 27.1, se escribe la ecuación (27.3)
para la barra mostrada en la figura 27.2. El empleo de cuatro nodos interiores con un
segmento de longitud ∆x = 2 metros da como resultado las siguientes ecuaciones:

⎡ 204. – 1 0 0 ⎤⎧ ⎫ ⎧ 40 8. ⎫
T
1
⎢ − − ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 2 04. 1 0 ⎥ ⎪ T 2 ⎪ ⎪ 08. ⎪ ⎬
⎨ ⎬ = ⎨
⎢ 0 1 – 2 04. − 1 ⎥ T 3 ⎪ ⎪ 08. ⎪
⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ 0 0 − 1 2 04. ⎦⎩ T 4⎭ ⎪ 200 8. ⎪ ⎭
⎩
de las cuales se obtienen
{T} = ⎣65.9698 93.7785 124.5382 159.4795⎦
T

La tabla 27.1 ofrece una comparación entre la solución analítica [ecuación (27.2)] y
las soluciones numéricas obtenidas en los ejemplos 27.1 y 27.3. Observe que hay algunas

TABLA 27.1 Comparación de la solución analítica exacta con los métodos
de disparo y de diferencias fi nitas.
x Verdadera Método de disparo Diferencias fi nitas
0 40 40 40
2 65.9518 65.9520 65.9698
4 93.7478 93.7481 93.7785
6 124.5036 124.5039 124.5382
8 159.4534 159.4538 159.4795
10 200 200 200

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