Page 825 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 801

discrepancias entre las aproximaciones. En ambos métodos numéricos, los errores se
reducen al disminuir sus respectivos tamaños de paso. Aunque las dos técnicas funcio-
nan bien en el presente caso, se prefiere el procedimiento por diferencias finitas debido
a la facilidad con la que se puede extender a casos más complicados.
Además de los métodos por diferencias finitas y de disparo, existen otras técnicas
para resolver problemas con valores en la frontera. Algunas de éstas se describen en la
parte ocho y comprenden soluciones en estado estacionario (capítulo 29) y transitorio
(capítulo 30) de problemas con valores en la frontera en dos dimensiones, usando dife-
rencias finitas y soluciones en estado estacionario de problemas unidimensionales con
el método del elemento finito (capítulo 31).
27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS

Los problemas de valores propios, o característicos o eigenvalores, constituyen una
clase especial de problemas con valores en la frontera, que son comunes en el contexto
de problemas de ingeniería que implican vibraciones, elasticidad y otros sistemas osci-
lantes. Además, se utilizan en una amplia variedad de contextos en ingeniería que van
más allá de los problemas con valores en la frontera. Antes de describir los métodos
numéricos para resolver estos problemas, revisaremos alguna información como ante-
cedente. Ésta comprende el análisis de la importancia tanto matemática como ingenieril
de los valores propios.
27.2.1 Antecedentes matemáticos

En la parte tres se estudiaron métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicos
lineales de la forma general

[A]{X} = {B}
Tales sistemas se llaman no homogéneos debido a la presencia del vector {B} en el lado
derecho de la igualdad. Si las ecuaciones que constituyen tal sistema son linealmente in-
dependientes (es decir, que tienen un determinante distinto de cero), tendrán una solución
única. En otras palabras, existe un conjunto de valores x que satisface las ecuaciones.
En cambio, un sistema algebraico lineal homogéneo tiene la forma general:

[A]{X} = 0
Aunque son posibles las soluciones no triviales (es decir, soluciones distintas a que todas
las x = 0) para tales sistemas, generalmente no son únicas. Más bien, las ecuaciones
simultáneas establecen relaciones entre las x que se pueden satisfacer con diferentes
combinaciones de valores.
Los problemas de valores propios relacionados con la ingeniería tienen la forma
general:
(a – l)x + a x + · · · + a x = 0
12 2
1n n
1
11
a x + (a – l)x + · · · + a x = 0
22
2
21 1
2n n
· · · ·
· · · ·
· · · ·
a x + a x + · · · + (a – l)x = 0
n
nn
n1 1
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