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802 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

donde l es un parámetro desconocido llamado valor propio o característico o eigenva-
lor. Una solución {X} de este sistema se le conoce como vector propio (vector caracte-
rístico o eigenvector). El conjunto de ecuaciones anterior también se expresa de manera
concisa como:

[[A] – l[I]]{X} = 0 (27.4)
La solución de la ecuación (27.4) depende de la determinación del valor de l. Una
manera de obtenerlo se basa en el hecho de que el determinante de la matriz [[A] – l[I]]
debe ser igual a cero para que existan soluciones no triviales. La expansión del determi-
nante será un polinomio en función de l. Las raíces de este polinomio son los valores
propios. En la siguiente sección se presentará un ejemplo de dicho procedimiento.

27.2.2 Antecedentes físicos

El sistema masa-resorte de la figura 27.5a es un ejemplo simple para ilustrar cómo se
presentan los valores propios en los problemas físicos. También ayudará a entender al-
gunos de los conceptos matemáticos presentados en la sección anterior.
Para simplificar el análisis, suponga que en cada masa no actúan fuerzas externas
o de amortiguamiento. Además, considere que cada resorte tiene la misma longitud
natural l y la misma constante de resorte k. Por último, suponga que el desplazamiento
de cada resorte se mide en relación con su sistema coordenado local con un origen en la
posición de equilibrio del resorte (figura 27.5b). Bajo estas consideraciones, se emplea
la segunda ley de Newton para desarrollar un balance de fuerzas para cada masa (re-
cuerde la sección 12.4),
2
dx
m 1 1 =− kx + k x −( 2 x )
1
1
dt 2
y
2
dx
m 2 2 =− kx −( 2 x −) kx 2
1
dt 2

FIGURA 27.5 m 1 m 2
Colocando las masas a)
alejadas de su posición de 0 x
equilibrio se crean fuerzas
en los resortes que, después
de liberados, hacen oscilar
m 1 m 2
las masas. Las posiciones de
las masas se pueden referir b)
0 x
a coordenadas locales con
orígenes en sus respectivas 0 x 1 0 x 2
posiciones de equilibrio.

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