Page 827 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 803

donde x es el desplazamiento de la masa i respecto de su posición de equilibrio (figura
i
27.5b). Estas ecuaciones se expresan como:
2
dx
m 1 1 − k 2−( x + x ) = 0 (27.5a)
1
2
dt 2
2
dx
m 2 2 − kx −( 1 2 x ) = 0 (27.5b)
2
dt 2
De la teoría de vibraciones, se conoce que las soluciones de la ecuación (27.5) pue-
den tomar la forma:
x = A sen(wt) (27.6)
i
i
donde A = la amplitud de la vibración de la masa i y w = la frecuencia de la vibración,
i
que es igual a:
2 π
ω = (27.7)
T
p
donde T es el periodo. De la ecuación (27.6) se tiene que:
p
2
x ′′= Aω sen ( ω t) (27.8)
–
i
i
Las ecuaciones (27.6) y (27.8) se sustituyen en las ecuaciones (27.5), y después de agru-
par términos, se expresan como:
⎛ 2k ⎞ k
⎜ − ω 2 ⎟ A − A = 0 (27.9a)
2
⎝ m 1 ⎠ m 1
1
k ⎛ k 2 ⎞
− A + ⎜ − ω 2 ⎟ A = 0 (27.9b)
m 1 ⎝ m ⎠ 2
2 2
Una comparación entre las ecuaciones (27.9) y (27.4) indican que ahora la solución se
redujo a un problema de valores propios.
EJEMPLO 27.4 Valores propios y vectores propios para un sistema masa-resorte

Planteamiento del problema. Evalúe los valores propios y los vectores propios de la
ecuación (27.9) en el caso donde m = m = 40 kg y k = 200 N/m.
1
2
Solución. Sustituyendo los valores de los parámetros en las ecuaciones (27.9) se ob-
tiene:
2
(10 – w )A – 5A = 0
2
1
2
–5A + (10 – w )A = 0
2
1
El determinante de este sistema es [recuerde la ecuación (9.3)]:
2
2 2
(w ) – 20w + 75 = 0

6/12/06 14:03:04
Chapra-27.indd 803 6/12/06 14:03:04
Chapra-27.indd 803