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27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 805

27.2.3 Un problema de valores en la frontera

Ahora que hemos estudiado a los valores propios, volvemos al tipo de problemas que es
el objeto de este capítulo: problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferen-
ciales ordinarias. La figura 27.7 muestra un sistema físico que puede servir como un
ejemplo para examinar este tipo de problemas.
La curvatura de una columna delgada sujeta a una carga axial P se modela mediante
2
dy = M (27.10)
dx 2 EI

2
2
donde d y/dx especifica la curvatura, M = momento de flexión, E = módulo de elasti-
cidad e I = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje. Conside-
rando el diagrama de cuerpo libre de la figura 27.7b, es claro que el momento de flexión
en x es M = –Py. Sustituyendo este valor en la ecuación (27.10) se obtiene:
2
dy + py = 0 (27.11)
2
dx 2
donde
p = P (27.12)
2
EI
Para el sistema de la figura 27.7, sujeto a las condiciones de frontera
y(0) = 0 (27.13a)
y(L) = 0 (27.13b)

la solución general de la ecuación (27.11) es:
y = A sen(px) + B cos(px) (27.14)

P P
y
(0, 0)
y
x
M

P

(L, 0)
P
FIGURA 27.7
a) Barra delgada. b) x
Diagrama de cuerpo libre a) b)
de la barra.

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