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27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 807

propio corresponde a una manera en la que la columna se dobla o pandea. Combinando
las ecuaciones (27.12) y (27.16), se obtiene:
n π 2 EI
2
P = para n = 12 3, , ,… (27.17)
L 2
Éstas se consideran cargas de pandeo, pues representan los niveles a los cuales se mue-
ve la columna a cada configuración de pandeo sucesivo. En un sentido práctico, usual-
mente el primer valor es el de interés, ya que, en general, las fallas ocurren cuando la
columna se pandea primero. Así, una carga crítica se define como:
π 2 EI
P =
L 2
que se conoce como fórmula de Euler.

EJEMPLO 27.5 Análisis de valores propios de una columna cargada axialmente
Planteamiento del problema. Una columna de madera cargada axialmente tiene las
4
9
–5
siguientes características: E = 10 × 10 Pa, I = 1.25 × 10 m y L = 3 m. Determine
los primeros ocho valores propios y las correspondientes cargas de pandeo.
Solución. Se utilizan las ecuaciones (27.16) y (27.17) para calcular
n p, m P, kN
–2
1 1.0472 137.078
2 2.0944 548.311
3 3.1416 1233.701
4 4.1888 2193.245
5 5.2360 3426.946
6 6.2832 4934.802
7 7.3304 6716.814
8 8.3776 8772.982

La carga crítica de pandeo es, por lo tanto, 137.078 kN.

Aunque las soluciones analíticas del tipo antes obtenido son útiles, a menudo es difí-
cil o imposible obtenerlas. Normalmente esto ocurre cuando se trata con sistemas com-
plicados o con aquellos que tienen propiedades heterogéneas. En tales casos, los métodos
numéricos del tipo que a continuación se describirán son la única alternativa práctica.

27.2.4 El método del polinomio

La ecuación (27.11) se puede resolver numéricamente sustituyendo la segunda derivada
por una aproximación en diferencias divididas finitas centradas (figura 23.3), lo que da
y − 2 y + y
2
i+1 i i−1 + py = 0
h 2 i

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