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808 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

la cual se expresa como:
2 2
y – (2 – h p )y + y = 0 (27.18)
i
i–1
i+1
Al escribir esta ecuación para una serie de nodos a lo largo del eje de la columna, se
obtiene un sistema de ecuaciones homogéneo. Por ejemplo, si la columna se divide
en cinco segmentos (es decir, cuatro nodos interiores), el resultado es:
⎡ (2 − hp 2 ) –1 0 0 ⎤⎧ y 1 ⎫
2
⎢ 2 2 ⎥⎪ ⎪
⎢ − 1 (2 − hp ) –1 0 ⎥ ⎪ y 2 ⎪
⎨ ⎬ =
⎢ 0 − 1 (2 − hp 2 ) − 1 ⎥ y 3 ⎪ 0 (27.19)
2
⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎣ ⎢ 0 0 –1 (2 − hp 2 )⎥ y 4⎭
2
⎦⎩
La expansión del determinante del sistema da un polinomio, cuyas raíces son los valores
propios. Este procedimiento, llamado el método del polinomio, se aplica en el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO 27.6 El método del polinomio

Planteamiento del problema. Emplee el método del polinomio para determinar los
valores propios de la columna cargada axialmente del ejemplo 27.5, usando a) uno, b)
dos, c) tres y d) cuatro nodos interiores.
Solución.

a) Al escribir la ecuación (27.18) para un nodo interior, se obtiene (h = 3/2)
2
–(2 – 2.25p )y = 0
1
Así, en este caso sencillo, el valor propio se analiza igualando el determinante con
cero

2
2 – 2.25p = 0
obteniendo p = ±0.9428, que es aproximadamente 10% menor que el valor exacto
de 1.0472 obtenido en el ejemplo 27.4.
b) Para dos nodos interiores (h = 3/3), la ecuación (27.18) se escribe como
⎡ (2 − p 2 ) − 1 ⎤⎧ y 1 ⎫
⎢ 2 ⎥⎨ ⎬ = 0
⎦⎩
⎣ − 1 (2 − p ) y 2 ⎭
La expansión del determinante da

2 2
(2 – p ) –1 = 0
de donde se obtiene p = ±1 y ±1.73205. De esta manera, el primer valor propio
ahora es aproximadamente 4.5% menor, y se obtiene un segundo valor propio que
es aproximadamente 17% menor.

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