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810 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

27.2.5 El método de potencias

El método de potencias es un procedimiento iterativo que sirve para determinar el valor
propio mayor. Con ligeras modificaciones, también puede ser útil para determinar los
valores menor e intermedio. Como ventaja adicional, el vector propio correspondiente
se obtiene como parte del método.

Determinación del valor propio mayor. Para implementar el método de potencias,
el sistema que se analiza debe expresarse en la forma:

[A]{X} = l {X} (27.20)

Como se ilustra en el siguiente ejemplo, la ecuación (27.20) es la base para una técnica
de solución iterativa que, finalmente, proporciona el valor propio mayor y su vector
propio asociado.

EJEMPLO 27.7 Método de potencias para el valor propio mayor

Planteamiento del problema. Con el método de potencias determine el valor propio
mayor para el inciso c) del ejemplo 27.6.

Solución. Primero, el sistema se escribe en la forma de la ecuación (27.20),
3.556x – 1.778x 2 = lx 1
1
–1.778x + 3.556x – 1.778x = lx 2
1
3
2
– 1.778x + 3.556x = lx 3
2
3
Después, suponiendo que las x del lado izquierdo de la ecuación son iguales a 1,
3.556(1) – 1.778(1) = 1.778
–1.778(1) + 3.556(1) – 1.778(1) = 0
– 1.778(1) + 3.556(1) = 1.778

Luego, el lado derecho se normaliza con 1.778 para hacer que el elemento mayor sea
igual a:

⎧ 1 778. ⎫ 1 ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ 0 ⎬ = 1 778 0. ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ 1 778. ⎭ ⎩ ⎭
1
Así, la primera estimación del valor propio es 1.778. Esta iteración se expresa en forma
matricial como:
⎡ 3 556. − 1 778. 0 ⎤⎧ 1⎫ ⎧ 1 778. ⎫ 1 ⎧ ⎫
⎪
⎢ − − ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎬ = ⎪ ⎪
⎢ 1 778. 3 556. 1 778 1. ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ 1 778 0. ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎢ ⎣ 0 − 1 778. 3 556. ⎥ ⎦⎩ ⎭ ⎪ 1 778. ⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎩ ⎭
⎭
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