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27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 809

c) Para tres puntos interiores (h = 3/4), la ecuación (27.18) se escribe como:
⎡ 2 0 5625− . p 2 1 – 0 ⎤⎧y 1 ⎫
⎢ 2 ⎥⎪ ⎪
⎢ – 1 2 0 5625− . p 1 – ⎥ ⎨ y 2 ⎬ = 0 (E27.6.1)
⎢ ⎣ 0 – 1 2 0 5625− . p 2 ⎪ ⎪
⎦⎩
⎥ y
3⎭
El determinante se iguala a cero y se expande para dar:
2
2 3
(2 – 0.5625p ) – 2(2 – 0.5625p ) = 0
2
2
Para que esta ecuación se satisfaga, 2 – 0.5625p = 0 y 2 – 0.5625p = 2 . Por lo
tanto, los primeros tres valores propios se determinan como:
p = ±1.0205 |e | = 2.5%
t
p = ±1.8856 |e | = 10%
t
p = ±2.4637 |e | = 22%
t
d) Para cuatro puntos interiores (h = 3/5), el resultado es la ecuación (27.19) con 2
2
– 0.36p sobre la diagonal. Igualando a cero el determinante y expandiéndolo, se
tiene:
2 4
2 2
(2 – 0.36p ) – 3(2 – 0.36p ) + 1 = 0
que se resuelve para los primeros cuatro valores propios
p = ±1.0301 |e t | = 1.6%
p = ±1.9593 |e | = 6.5%
t
p = ±2.6967 |e | = 14%
t
p = ±3.1702 |e | = 24%
t
La tabla 27.2, que resume los resultados de este ejemplo, ilustra algunos aspectos
fundamentales del método polinomial. Conforme la segmentación se refina más, se
determinan valores propios adicionales, y los valores previamente determinados se vuel-
ven progresivamente más exactos. Así, el procedimiento es muy adecuado para los casos
donde se requieren los valores propios.

TABLA 27.2 Los resultados de aplicar el método del polinomio a una columna
cargada axialmente. Los números entre paréntesis representan el valor
absoluto del error relativo porcentual verdadero.

Método del polinomio
Valor propio Verdadero h = 3/2 h = 3/3 h = 3/4 h = 3/5
1 1.0472 0.9428 1.0000 1.0205 1.0301
(10%) (4.5%) (2.5%) (1.6%)
2 2.0944 1.7321 1.8856 1.9593
(21%) (10%) (65%)
3 3.1416 2.4637 2.6967
(22%) (14%)
4 4.1888 3.1702
(24%)

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