Page 835 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 811

T
La siguiente iteración consiste en multiplicar [A] por ⎣1 0 1⎦ para dar:
⎡ 3 556. − 1 778. 0 ⎤⎧ 1⎫ ⎧ 3 556. ⎫ ⎧ 1 ⎫
⎢ − − ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 – ⎬
⎨
⎢ 1 778. 3 556. 1 778 0. ⎥ ⎨ ⎬ =− 3 556. ⎬ = 3 556. ⎨
⎪ ⎪
⎢ ⎣ 0 − 1 778. 3 556. ⎥ ⎦⎩ ⎭ ⎪ 3 556. ⎪ ⎪ ⎪
⎭
⎩
⎩ ⎭
1
1
Por lo tanto, el valor propio estimado en la segunda iteración es 3.556, que puede em-
plearse para determinar el error estimado
−
. 3 556 1 .778
| ε | = 100 % = 50 %
a
. 3 556
Luego, el proceso puede repetirse.
Tercera iteración:
⎡ 3 556. − 1 778. 0 ⎤⎧ 1 ⎫ ⎧ 5 334. ⎫ ⎧ − 075. ⎫
⎪
⎪
⎪
⎢ − − ⎥⎪ − 1 ⎬ =− ⎪ ⎪ 1 ⎬
⎢ 1 778. 3 556. 1 778. ⎥ ⎨ ⎨ 7 112. ⎬ =− 7 112. ⎨
⎪
⎢ ⎣ 0 − 1 778. 3 556. ⎥ ⎦⎩ 1 ⎪ ⎪ 5 334. ⎪ ⎪ ⎩ − 075. ⎪
⎭
⎭
⎭
⎩
donde |e | = 150% (que es alto debido al cambio de signo).
a
Cuarta iteración:
⎡ 3 556. − 1 778. 0 ⎤ − 075. ⎫ ⎧ − 4 445. ⎫ ⎧ − 0 714. ⎫
⎧
⎪
⎪
⎢ − − ⎥⎪ 1 ⎬ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 778. 3 556. 1 778. ⎥ ⎨ 6 223. ⎬ = 6 223. ⎨ 1 ⎬
⎪
⎢ ⎣ 0 − 1 778. 3 556. ⎥ − 075. ⎪ ⎪ − 4 445. ⎪ ⎪ − 0 714. ⎪
⎩
⎭
⎭
⎩
⎭
⎦⎩
donde |e | = 214% (de nuevo, muy alto debido al cambio de signo).
a
Quinta iteración:
⎡ 3 556. − 1 778. 0 ⎤ − 0 714. ⎫ ⎧ − 4 317. ⎫ ⎧ − 0 708. ⎫
⎧
⎢ − − ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 778. 3 556. 1 778. ⎥ ⎨ 1 ⎬ = ⎨ 6 095. ⎬ = 6 095. ⎨ 1 ⎬
⎪
⎢ ⎣ 0 − 1 778. 3 556. ⎥ − 0 714. ⎪ ⎪ − 4 317. ⎪ ⎪ − 0 708. ⎪
⎭
⎩
⎩
⎭
⎦⎩
⎭
2
Así, el factor normalizado converge al valor de 6.070 (= 2.4637 ) obtenido en el
inciso c) del ejemplo 27.6.
Tenga en cuenta que en algunas ocasiones el método de potencias convergerá al segun-
do valor propio más grande, en lugar de hacerlo al primero. James, Smith y Wolford (1985)
presentan un caso así. Otros casos especiales se analizan en Fadeev y Fadeeva (1963).
Determinación del valor propio menor. En ingeniería existen problemas donde nos
interesa determinar el valor propio menor. Tal es el caso de la barra en la figura 27.7,
donde el valor propio menor se utilizó para identificar una carga de pandeo crítica. Esto
puede realizarse aplicando el método de potencias a la matriz inversa de [A]. En este
caso, el método de potencias converge al valor mayor de 1/l (en otras palabras, el valor
menor de l).
6/12/06 14:03:07
Chapra-27.indd 811
Chapra-27.indd 811 6/12/06 14:03:07