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812 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

EJEMPLO 27.8 Método de potencias para el valor propio menor

Planteamiento del problema. Emplee el método de potencias para determinar el
valor propio menor en el inciso c) del ejemplo 27.6.

2
Solución. Después de dividir la ecuación E27.6.1 entre h (= 0.5625), se evalúa su
matriz inversa como:
⎡0 .422 0 .281 0 .141 ⎤
[]A −1 = ⎢ ⎢ . 0 281 0 .562 0 .281 ⎥ ⎥
⎣ ⎢0 .141 0 .281 0 .422 ⎥ ⎦

Usando el mismo formato del ejemplo 27.9, el método de potencias se aplica a esta
matriz.
Primera iteración:

⎡ 0 422 0 281 0 141 1. . . ⎤⎧ ⎫ ⎧ 0 884. ⎫ ⎧ 0 751. ⎫
⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎬
⎢ 0 281 0 562 0 281 1. . . ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ 1 124. ⎬ = 1 124. ⎨
⎪ ⎪
⎢ ⎣ 0 141 0 281 0 422 1. . . ⎥ ⎦⎩ ⎭ ⎪ 0 884. ⎪ ⎪ 0 751. ⎪
⎭
⎩
⎩
⎭
Segunda iteración:
⎡ 0 422 0 281 0 141 0 751. . . ⎤⎧ . ⎫ ⎧ 0 704. ⎫ ⎧ 0 715. ⎫
⎪
⎪
⎪
⎢ ⎥⎪ 1 ⎬ = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎬
⎢ 0 281 0 562 0 281. . . ⎥ ⎨ 0 984. ⎬ = 0 984. ⎨
⎪
⎢ ⎣ 0 141 0 281 0 422 0 751. . . ⎥ ⎦⎩ . ⎪ ⎪ 0 704. ⎪ ⎪ 0 715. ⎪
⎭
⎭
⎩
⎭
⎩
donde |e | = 14.6%.
a
Tercera iteración:
⎡ 0 422 0 281 0 141 0 715. . . ⎤⎧ . ⎫ ⎧ 0 684. ⎫ ⎧ 0 709. ⎫
⎪
⎪
⎪
⎢ ⎥⎪ 1 ⎬ = ⎨ ⎪ ⎪ 1 ⎬
⎢ 0 281 0 562 0 281. . . ⎥ ⎨ 0 964. ⎬ = 0 964. ⎨
⎪
⎢ ⎣ 0 141 0 281 0 422 0 715. . . ⎥ ⎦⎩ . ⎪ ⎪ 0 684. ⎪ ⎪ 0 709. ⎪
⎩
⎭
⎭
⎭
⎩
donde |e | = 4%.
a
Así, después de sólo tres iteraciones, el resultado converge al valor de 0.9602, que es
el recíproco del valor propio menor, 1.0205 ( = 1 0 9602/. , obtenido en el ejemplo 27.6c.
Determinación de valores propios intermedios. Después de encontrar el mayor de
los valores propios, es posible determinar los siguientes más grandes remplazando la
matriz original por una que incluya sólo los valores propios restantes. El proceso de
eliminar el valor propio mayor conocido se llama deflación. La técnica explicada aquí,
el método de Hotelling, está diseñada para matrices simétricas. Esto es porque aprove-

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