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27.2 PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS 813

cha la ortogonalidad de los vectores propios de tales matrices, los cuales se expresan
como:
⎧0 para i ≠ j
{} {}X T i X j = ⎨ (27.21)
⎩ 1 para i = j

T
donde los componentes del vector propio {X} se han normalizado de forma tal que {X}
{X} = 1; es decir, que la suma de los cuadrados de los componentes sea igual a 1. Esto se
puede llevar a cabo dividiendo cada uno de los elementos entre el factor normalizado

n
∑ x 2 k
k 1=

Ahora, se calcula una nueva matriz [A] como:
2
[A] = [A] – l {X} {X} T 1 (27.22)
2
1
1
1
donde [A] = la matriz original y l = el valor propio mayor. Si el método de potencias
1
1
se aplica a esta matriz, el proceso de iteración converge al segundo valor propio más
grande, l . Para demostrarlo, primero multiplicamos por el lado derecho a la ecuación
2
(27.22) por {X} ,
1
T
[A] {X} = [A] {X} – l {X} {X} {X} 1
1
2
1
1
1
1
1
Considerando el principio de ortogonalidad, esta ecuación se transforma en:
[A] {X} = [A] {X} – l {X} 1
1
1
1
1
2
donde el lado derecho es igual a cero, de acuerdo con la ecuación (27.20). Así, [A] {X}
2
1
= 0. En consecuencia, l = 0 y {X} = {X} es una solución para [A] {X} = l{X}. En otras
1
2
palabras, la matriz [A] tiene los valores propios 0, l , l , …, l . El valor propio mayor
2
n
2
3
l se reemplazó con un 0 y, por lo tanto, el método de potencias convergerá al siguien-
1
te l más grande.
2
El proceso anterior puede repetirse generando una nueva matriz [A] , etcétera.
3
Aunque, en teoría, este proceso podría continuar para determinar los valores propios
restantes, está limitado por el hecho de que en cada paso se arrastran los errores sobre
los vectores propios. Por ello, solamente es útil para determinar algunos de los valores
propios más altos. Aunque, de alguna manera, esto es una desventaja, se requiere preci-
samente esta información en muchos problemas de ingeniería.
27.2.6 Otros métodos
Existe una gran variedad de métodos alternativos para resolver problemas de valores
propios. La mayoría se basa en un proceso de dos pasos. El primer paso consiste en
transformar la matriz original en una forma más simple (por ejemplo, tridiagonal), que
conserve todos los valores propios originales. Después, se usan métodos iterativos para
determinar estos valores propios.
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