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814 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

Muchos de esos procedimientos están diseñados para tipos especiales de matri-
ces. En particular, varias técnicas se dedican a la solución de sistemas simétricos.
Por ejemplo, el método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal,
al eliminar de forma sistemática los términos que están fuera de la diagonal. Por desgra-
cia, el método requiere un enorme número de operaciones, ya que la eliminación de cada
elemento distinto de cero a menudo crea un nuevo valor distinto de cero en un elemento
previamente anulado. A pesar de que se requiere muchísimo tiempo para eliminar todos
los elementos distintos de cero fuera de la diagonal, finalmente la matriz tenderá hacia
una forma diagonal. Así, el procedimiento es iterativo en el sentido de que se repite has-
ta que los términos que están fuera de la diagonal son “suficientemente” pequeños.
El método de Given también implica transformar una matriz simétrica en una forma
más simple. No obstante, a diferencia del método de Jacobi, la forma más simple es tridia-
gonal. Además, difiere en que los ceros creados en posiciones fuera de la diagonal se con-
servan. En consecuencia, es finito y, por lo tanto, más eficiente que el método de Jacobi.
El método de Householder también transforma una matriz simétrica en una forma
tridiagonal. Es un método finito más eficiente que el método de Given, debido a que
reduce a cero todos los elementos renglones y columnas que están colocados fuera de la
diagonal.
Una vez que se obtiene un sistema tridiagonal mediante el método de Given o de
Householder, los pasos restantes buscan hallar los valores propios. Una forma directa
para realizar esto es expandir el determinante. El resultado es una secuencia de polino-
mios que se pueden evaluar iterativamente para los valores propios.
Además de las matrices simétricas, también existen técnicas que están disponibles
cuando se requieren todos los valores propios de una matriz general. Éstas incluyen el
método LR de Rutishauser y el método QR de Francis. Aunque este último es menos
eficiente, a menudo es el método preferido, ya que es más estable. De hecho, se consi-
dera como el mejor método de solución para propósitos generales.
Por último, debemos recordar que las técnicas antes mencionadas de manera común
se utilizan conjuntamente para aprovechar sus ventajas respectivas. Por ejemplo, los
métodos de Given y de Householder también se aplican a sistemas no simétricos. El
resultado no será tridiagonal, sino más bien un tipo especial llamado forma de Hessen-
berg. Un procedimiento es aprovechar la velocidad del método de Householder para
transformar la matriz a esta forma y, después, usar el algoritmo estable QR para hallar
los valores propios. Información adicional sobre éstos y otros temas relacionados con los
valores propios se encuentra en Ralston y Rabinowitz (1978), Wilkinson (1965), Fadeev
y Fadeeva (1963) y Householder (1953, 1964). Están disponibles códigos para compu-
tadora en diferentes fuentes, como Press y cols. (1992). Rice (1983) analiza los paquetes
de software disponibles.

27.3 EDO Y VALORES PROPIOS CON BIBLIOTECAS
Y PAQUETES DE SOFTWARE

Las bibliotecas y paquetes de software tienen grandes capacidades para resolver EDO y
determinar valores propios. En esta sección se explican algunas de las formas en que
pueden aplicarse con tal propósito.

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