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896 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

Punto de la malla usado en la diferencia
temporal
Punto de la malla usado en la diferencia
espacial

t l + 1

FIGURA 30.8 t l
Una molécula
computacional para el x i – 1 x i x i + 1
método implícito simple.

Punto de la malla usado en la diferencia
temporal
Punto de la malla usado en la diferencia
espacial

t l + 1
t l + 1/2

FIGURA 30.9 t l
Molécula computacional
para el método de Crank- x i – 1 x i x i + 1
Nicholson.

grandes. En consecuencia, no es mucho más eficiente que los métodos explícitos para la
mayoría de los problemas variables en el tiempo.
Donde se nota esto es en los problemas en estado estacionario. Del capítulo 29 re-
cuerde que una forma de Gauss-Seidel (método de Liebmann) se utiliza para obtener
soluciones para estado estacionario de las ecuaciones elípticas. Un método alternativo
será correr una solución variable en el tiempo hasta que alcance un estado estacionario.
En estos casos, debido a que los resultados intermedios inexactos no son un problema,
los métodos implícitos permiten emplear grandes pasos de tiempo, y así generar resul-
tados a estado estacionario de manera eficiente.

30.4 EL MÉTODO DE CRANK-NICOLSON

El método de Crank-Nicolson ofrece un esquema implícito alternativo que tiene una
exactitud de segundo orden, tanto para el espacio como para el tiempo. Para alcanzar
tal exactitud, se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del in-
cremento del tiempo (figura 30.9). Entonces, la primera derivada temporal se aproxima
en t l+1/2 por

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