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898 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

Para obtener las temperaturas en t = 0.2 s, el vector del lado derecho debe modificarse
⎧ 8 1801. ⎫
⎪ ⎪
⎪ 0 0841. ⎪
⎨ ⎬
⎪ 0 0427. ⎪
⎪ 4 0901. ⎪
⎩
⎭
De las ecuaciones simultáneas se obtiene

2
T 1 = 4.0073
2
T 2 = 0.0826
2
T 3 = 0.0422
2
T 4 = 2.0036
30.4.1 Comparación de los métodos unidimensionales

La ecuación (30.1) se puede resolver en forma analítica. Por ejemplo, hay una solución
para el caso donde la temperatura de la barra es inicialmente cero. En t = 0, la condición
de frontera en x = L se eleva instantáneamente a un nivel constante de T, mientras que
T(0) se mantiene en cero. En este caso, la temperatura se calcula por
⎡
∞
T = ⎢ ∑ 2 ( −1) sen ⎛ nx ⎞ exp ⎛ ⎜ − n π 2 kt⎞ ⎤ (30.17)
2
x
+
⎟⎥
n
T
⎣ ⎢ L n=0 nπ ⎝ L ⎠ ⎝ L 2 ⎠ ⎥ ⎦
donde L = longitud total de la barra. Esta ecuación es útil para calcular la evolución de
la distribución de temperaturas para cada condición de frontera. Entonces, la solución
total se determina por superposición.
EJEMPLO 30.4 Comparación de las soluciones numéricas y analíticas
Planteamiento del problema. Compare la solución analítica de la ecuación (30.17)
con los resultados numéricos obtenidos con las técnicas explícita, implícita simple y de
Crank-Nicolson. Realice esta comparación con la barra empleada en los ejemplos 30.1,
30.2 y 30.3.

2
Solución. Recuerde de los ejemplos anteriores que k = 0.835 cm /s, L = 10 cm y
∆x = 2 cm. En este caso, se utiliza la ecuación (30.17) para predecir que la temperatura
en x = 2 cm y t = 10 s será igual a 64.8018. En la tabla 30.1 se presentan predicciones
numéricas para T(2, 10). Observe que se ha empleado un tamaño de paso para el tiempo.
Estos resultados indican varias propiedades de los métodos numéricos. Primero, se
observa que el método explícito es inestable para l alta. Dicha inestabilidad no se ma-
nifiesta en ningún método implícito. Segundo, el método de Crank-Nicolson converge
más rápidamente conforme l decrece, y proporciona resultados de exactitud moderada
aun cuando l sea relativamente alta. Estos resultados eran de esperarse ya que Crank-
Nicolson tiene una exactitud de segundo orden con respecto a ambas variables indepen-
dientes. Por último, observe que conforme l decrece, los métodos parecen converger a
un valor de 64.73, que es diferente del resultado analítico de 64.80. Esto no debe sor-
prender, ya que se ha usado un valor fijo de ∆x = 2 para caracterizar la dimensión x. Si

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