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30.5 ECUACIONES PARABÓLICAS EN DOS DIMENSIONES ESPACIALES 899
TABLA 30.1 Comparación de tres métodos para la solución de una EDP parabólica: la
barra calentada. Los resultados mostrados corresponden a la temperatura
en t = 10 s en x = 2 cm para la barra de los ejemplos 30.1 a 30.3.
Observe que la solución analítica es T(2, 10) = 64.8018.
∆t λ Explícito Implícito Crank-Nicolson
10 2.0875 208.75 53.01 79.77
5 1.04375 –9.13 58.49 64.79
2 0.4175 67.12 62.22 64.87
1 0.20875 65.91 63.49 64.77
0.5 0.104375 65.33 64.12 64.74
0.2 0.04175 64.97 64.49 64.73
tanto ∆x como ∆t disminuyeran conforme l decrece (es decir, si se usaran más segmen-
tos espaciales), la solución numérica se acercará más al resultado analítico.
El método de Crank-Nicolson se emplea con frecuencia para resolver EDP para-
bólicas en una dimensión espacial. Las ventajas del método se aprecian cuando se pre-
sentan problemas más complicados, como aquellos en los que se tienen mallas
irregularmente espaciadas. Tal espaciado no uniforme a menudo es ventajoso cuando se
tiene un conocimiento previo de que la solución varía rápidamente en porciones locales
del sistema. Análisis de tales aplicaciones y del método de Crank-Nicolson se encuentran
en diferentes fuentes (Ferziger, 1981; Lapidus y Pinder, 1981; Hoffman, 1992).
30.5 ECUACIONES PARABÓLICAS EN DOS
DIMENSIONES ESPACIALES
La ecuación de conducción del calor se puede aplicar a más de una dimensión espacial.
Para dos dimensiones, su forma es
2
2
∂T ⎛ ∂ T ∂ T ⎞
= k ⎜ + ⎟ (30.18)
∂t ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
Una aplicación de esta ecuación consiste en modelar la distribución de temperatura sobre
la superficie de una placa calentada. Sin embargo, más que caracterizar su distribución
en estado estacionario, como se hizo en el capítulo 29, la ecuación (30.18) ofrece un
medio para calcular la distribución de temperatura de la placa conforme cambia con el
tiempo.
30.5.1 Esquemas explícito o implícito estándar
Es posible obtener una solución explícita sustituyendo en la ecuación (30.18) las aproxi-
maciones por diferencias finitas de la forma de las ecuaciones (30.2) y (30.3). Sin em-
bargo, como en el caso unidimensional, este método está limitado por un estricto
criterio de estabilidad. En el caso bidimensional, el criterio es
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