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30.4 EL MÉTODO DE CRANK-NICOLSON 897

∂T T + l 1 − T l
≅ i i (30.12)
∂t t ∆
La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando
l+1
l
las aproximaciones por diferencias al principio (t ) y al final (t ) del incremento del
tiempo
2
l
∂ T ≅ 1 ⎡T i l +1 − 2T i l + T i −1 + T i l +1 +1 − 2T i l +1 + T i l −1 +1 ⎤
∂x 2 2 ⎢ ⎣ (∆ x) 2 (∆ x) 2 ⎥ ⎦ (30.13)
Sustituyendo las ecuaciones (30.12) y (30.13) en la ecuación (30.1) y reagrupando
términos, se obtiene
l+1 l+1 l+1 l l l
–lT i–1 + 2(1 + l)T – lT i–1 = lT i–1 + 2(1 – l)T i + lT i+1 (30.14)
i
2
donde l = k ∆t/(∆x) . Como en el caso del método implícito simple, se determinan las
l+1
l+1
l+1
condiciones de frontera T l+1 = f (t ) y T m+1 = f m+1 (t ) para obtener versiones de la ecua-
0
0
ción (30.14) para los nodos interiores primero y último. Para el primer nodo interior
l+1
l
l
l
2(1 + l)T 1 l+1 – lT 2 l+1 = lf (t ) + 2(1 – l)T 1 + lT 2 + lf (t ) (30.15)
0
0
y, para el último nodo interior,
l+1
l
l+1
l
l+1
l
–lT m+1 + 2(1 + l)T = lf m+1 (t ) + 2(1 – l)T m + lT m–1 + lf m+1 (t ) (30.16)
m
Aunque las ecuaciones (30.14) a (30.16) son ligeramente más complicadas que las
ecuaciones (30.8), (30.10) y (30.11), también son tridiagonales y, por lo tanto, se resuel-
ve de manera eficiente.
EJEMPLO 30.3 Solución de Crank-Nicolson para la ecuación de conducción del calor
Planteamiento del problema. Con el método de Crank-Nicolson resuelva el mismo
problema que en los ejemplos 30.1 y 30.2.
Solución. Las ecuaciones (30.14) a (30.16) se utilizan para generar el siguiente sistema
de ecuaciones tridiagonal:
⎡ 2 04175. − 0 020875. ⎤ ⎧T 1 1 ⎫ ⎧ 4 175. ⎫
⎢ − − ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 0 20875. 2 04175. 0 020875. ⎥ ⎪ T 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎨
1 ⎬ = ⎨
⎢ − 0 020875. 2 04175. − 0 020875. ⎥ T 3 ⎪ ⎪ 0 ⎬
⎪
⎪
⎢ ⎥ 1
⎭
⎣ − 0 020875. 2 04175. ⎦ ⎩ 4 ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ 2 0875. ⎪
⎪T
de donde se obtienen las temperaturas en t = 0.1 s:
1
T 1 = 2.0450
1
T 2 = 0.0210
1
T 3 = 0.0107
1
T 4 = 1.0225
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