Page 1025 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和 p

判别法

当其他的判别法不能使用时, 对正项级数应用这些判别法. 你一定是想

最先应用第 n 项判别法, 然后对包含阶乘的级数采用比式判别法, 对

包含底和指数都为 n 的函数的项的级数采用根式判别法, 或对包含因

子 1/n 和对数的级数采用积分判别法. 还剩下什么呢？基本上与积分

的工具一样：比较判别法、极限比较判别法、p 判别法, 以及对常见

函数在 ∞ 和 0 附近的表现的理解. 非常有必要在学习本节前复习第

21 章, 因为方法几乎是相同的. 不管怎样, 这里会再次讨论那些判别

法. (为了便于对比, 在这里, 比较判别法和极限比较判别法中的 a 都
n

假定为非负.)

(1) 比较判别法的发散情形：若认为 发散, 则找一个同样发散的

较小的级数, 即找一个使得对所有 n 都有 a ≥ b 的正项数列 {b },
n
n
n

使得级数 发散. 则