Page 1027 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在来看一些例子. 在下面的每个例子中, 你都可以用积分代

换和式得到一个反常积分 (有瑕点 ∞) 来代换级数. 反常积分问题的解

就是相应级数的解. 对每种情形, 应该试着写下对等的反常积分的问题

和解. 返回第 21 章, 试着将每个瑕点为 ∞ 的反常积分转换成级数, 也

是一个好办法. 它们几乎都可以用上述判别法求解. (解中包含变量变

换 t = ln(x) 的问题是个例外. 对于这些问题, 为了求解相应的级数问

题, 你需要用积分判别法.) 考虑级数

为了检验这个说法, 注意每个多项式的最高次项起决定作用, 由于 n

变得越来越大 (详见 21.3.1 节), 我们有

当 n → ∞ 时, .

由 p 判别法知 收敛 (常数 2 不相关); 故由极限比较判别法知

原级数也收敛.

考虑几乎一样的例子：