Page 1023 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

事实上我们已经讨论过该级数了, 在 23.3 节曾试图用比式判别法进行

敛散性判定, 但没有成功. 现在我们换用积分判别法进行判定, 因为它

包含了 1/n 和 ln(n). 将变量 n 换为 x, 和式换为积分, 可得

被积函数 1/(x ln(x)) 关于 x 递减, 这可以通过证明其导数为负得到;

或更直接地, 观察 x 和 ln(x) 均关于 x 递增, 则它们的乘积也递增, 所

以倒数 1/(x ln(x)) 递减. 不管怎样, 我们已经在第 21 章讨论过这个积

分, 这里给出大致过程: 做换元 t = ln(x), 则 dt = 1/x dx, 积分变为

由积分 p 判别法可知该积分发散. 由于积分发散, 则原级数也发散 (积

分判别法).

另一方面, 我们对级数做个小的变动：考虑

同样包含因子 1/n 和对数, 所以尝试用积分判别法. 将 n 换为 x, 并将

级数转换为积分可得