Page 1031 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

该级数似乎有些项为负, 不过那只不过是表面现象. 事实上, 当 n 从 1

开始随着正整数的不断增大, 数 1/n 从 1 开始不断减小并趋于 0. 即,

1/n 总是介于 0 和 1 之间. 由于 sin(x) 在 0 和 1 之间恒正, 则级数

所有项均为正. 我们还没解决该问题, 下面该怎么做呢？在 21.4.2 节,

当 x → 0 时 sin(x) ~ x. 用 1/n 替换 x, 则当 1/n → 0 时 sin(1/n)

~ 1/n. 等一下, 当 1/n → 0 必须使 n → ∞. 即, 我们已经证得当 n →

∞ 时 sin(1/n) ~ 1/n, 这正是我们需要的! 由于级数 发散, 由

极限比较判别法知原级数也发散. (将这个例题与 21.4.2 节中最后一

个例题比较一下.)

另一方面, 级数

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收敛, 因为当 n → ∞ 时 sin (1/n) - 1/n , 具体过程请自行完成.

最后来看一个很让人头疼的级数

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如何讨论呢？分开考虑该级数. 当 n → ∞, 因式 (n + 4n - 3) 渐近等
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价于 n , 且因式 渐近等价于 , 就是 n 7/2 . 所以

可以说