Page 1055 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

该级数可能收敛, 也可能发散. 那到底是收敛还是发散呢？答案是收敛.

还有, 我们甚至知道它收敛于 e-1/10. 这就使我们知道了, 对任意实数

x,

都成立. 意思是若将 x 的任何特定值代入右边, 就得到一个收敛于 e x

的级数. 我们将在 24.2.3 节证明这个结论的正确性. 从下面的例子可

以看出, 代入 x 的一些不同值会得到什么：

我还可以给出更多例子, 实际上有无穷多个. 这个幂级数给出了无穷多

个常规级数的信息, 一个 x 值对应一个级数. 显然, 上面最后的级数收

敛于 1. 令 x = 0, 会发生很特别的事情：它使得除了常数项外的其他

项都消失了. 我们很快就会讨论这点, 先来看一般的幂级数.

24.2.1 一般幂级数

关于 x = 0 的幂级数是形为