Page 1060 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

假设我们从一个光滑函数 f 开始. 用 f 的所有导数定义一个在 x = a

的幂级数

将求和号展开后变为

该幂级数的系数为 a = f (n) (a)/n!. 该级数称为 f 关于 x = a 的泰勒
n

级数. 所以, 从函数开始, 我们定义了幂级数.

仔细看一下上面泰勒级数的定义, 应该很面熟吧. 其实, 该公式与

24.1.3 节中泰勒多项式 P (x) 的定义很像. 唯一的区别是, 和式没有
N

终止于 n = N , 而是一直持续到 ∞. 换句话说, 泰勒多项式 P (x) 是
N

泰勒级数的 N 项部分和.

我们将在下一节讨论泰勒多项式和泰勒级数的联系. 首先, 我们有另一

个定义： 麦克劳林级数, 它是 f 关于 x = 0 的泰勒级数的另一个名字.

所以,

展开式为