Page 1061 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

无论什么时候看到 “麦克劳林级数” 这几个字, 脑子里想着 “a = 0 的

泰勒级数” 就可以了.

24.2.3 泰勒级数的收敛性

好, 我们来回顾一下. 我们从一个函数 f 和数 a 开始, 构造了 f 关于 x

= a 的泰勒级数：

这是一个中心为 a 的幂级数, 但不仅仅是旧幂级数：它包含了 f 在 x

= a 的所有导数值. 若能写为

将会很酷, 因为那样我们就会知道泰勒级数对任何 x 都收敛, 且收敛于

原函数值 f (x). 问题是, 上面的等式并不总是成立. 级数可能会对 x 的

某些值发散, 或者对所有 x 值都发散 (除了 x = a：如我们看到的, 幂

级数在它的中心总收敛). 更糟的是, 级数可能收敛于不是 f (x) 的某些

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值! 幸运的是, 我们在例子中将避开这种离奇的可能性 .

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我只提及一个属于这种泰勒级数的经典例子：若 f (x) = e-1/x , 当 x ≠ 0, 同时我们定义
f (0) = 0, 则 f 在 0 点的所有导数均为 0, 所以 f 在中心 0 点的泰勒级数为 0. 除了当 x = 0