Page 1118 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

无论如何, 我假设你已经学过了这 5 个级数. 下面介绍如何通过对它们

进行操作来得到新的幂级数. 1

1 这些方法的证明不在本书讨论范围内.

26.2.1 代换和泰勒级数

最有用的方法就是做代换. 在麦克劳林级数中, 你可以将 x 换为

n
x 的倍数来得到一个新的麦克劳林级数, 其中 n 是一个整数. 例如, 我

们知道

2
x
对任意 x 都成立, 故若想求 f (x) = e 的麦克劳林级数, 只需将上述

2
级数的 x 换成 x , 可得

并可化简为

由于原级数对任意 x 都成立, 这个级数也一样.

2
我们来看另一个常见的例子：f (x) = 1/(1 + x ) 的麦克劳林级

数是什么？要求解该题, 我们从下面的几何级数开始：