Page 1120 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

右边不是 sin(x) 关于 x = 18 的泰勒级数, 因为左边不再是 sin(x), 而

是 sin(x - 18). 所以我们的代换也改变了原函数. 我们其实求出了

sin(x - 18) 关于 x = 18 的泰勒级数. 为了求出 sin(x) 关于 x = 18

的泰勒级数, 需要用到泰勒定理中的公式. (我们在 25.2 节末见过类似

的问题.)

上面这个例子告诉我们, 若将 x 换为 (x - a), 则得到关于 x = a

的泰勒级数而不是麦克劳林级数, 且函数也变了. 这还是有用的. 例如,

为了求 ln(x) 关于 x = 1 的泰勒级数, 我们从前一节的公式

开始. 现在, 将 x 换为 (x - 1), 则 ln(1 + x) 变为 ln(1 + (x - 1)), 即

ln(x), 则我们得到

注意, 我同样将原不等式 -1 < x < 1 中的 x 换为 (x - 1), 得到 -1 <

(x - 1) < 1. 这个不等式看起来有些蠢, 故各项加 1, 得到 0 < x < 2.

最后可得