Page 1121 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这里用了 ln(1 + x) 的麦克劳林级数得到 ln(x) 关于 x = 1 的泰勒级

数.

代换方法也可以用于求泰勒多项式, 不过要注意写对阶数. 例如, 若取 f

x
(x) = e 和 a = 0, 则 3 阶泰勒多项式为

2
2
x
若 g(x) = e , 将上述多项式的 x 换为 x , 则认为 g 的 3 阶泰勒多
项式为

这是错的. 它其实是 g 关于 x = 0 的 6 阶泰勒多项式, 所以左边应为

P (x) 而不是 P (x). 为了得到 P (x) 的正确公式, 只需去掉所有次数
6
3
3
2
大于 3 的项, 即为 P (x) = 1 + x . 当然, 它也是 P (x)! 当心, 不要看
3
2
作次数哦! 那可是阶数. (至少, 你想通过微积分这门课并取得学位 ……

2
好吧, 我发誓再也不使用双关语 了.)

2 这里指上一句的阶数 order 一词, 该词也有 “命令” 之意。—— 编者注

26.2.2 泰勒级数求导

若一个幂级数收敛于开区间 (a, b) 上可导的函数 f , 则可以通过对幂

级数逐项求导, 得到一个在相同区间上收敛于 f'(x) 的新幂级数. 在端